射的を4回行い、10点, 20点, 30点, 50点の的に当たった。1回目と2回目の点数の平均が3回目の点数と等しく、1回目と3回目の点数の平均が4回目の点数と等しいとき、2回目の点数を求める問題です。

1. 問題の内容

射的を4回行い、10点, 20点, 30点, 50点の的に当たった。1回目と2回目の点数の平均が3回目の点数と等しく、1回目と3回目の点数の平均が4回目の点数と等しいとき、2回目の点数を求める問題です。

2. 解き方の手順

1回目の点数を $x$、2回目の点数を $y$、3回目の点数を $z$、4回目の点数を $w$ とします。

条件アより、

$\frac{x+y}{2} = z$

条件イより、

$\frac{x+z}{2} = w$

また、$x, y, z, w$ は $10, 20, 30, 50$ のいずれかの値であり、互いに異なります。

$x+y=2z$ なので、$x+y$は偶数です。したがって、$x$と$y$は偶数または奇数です。

$x, y, z, w$ は $10, 20, 30, 50$ のいずれかの値であり、$w$は平均 $\frac{x+z}{2}$　であることから、$x$と$z$は偶数または奇数です。

$x+y=2z$より、$x+y$が最大の時、$z$は最大になります。$z = 50$の場合、$x+y=100$となり、$x$と$y$は$10, 20, 30, 50$のいずれかの値なので、$x+y=100$になることはありません。$z=30$の場合、$x+y = 60$。可能な組み合わせは$(x, y) = (10, 50), (50, 10)$.　$z=20$の場合、$x+y=40$.　可能な組み合わせは$(x, y) = (10, 30), (30, 10)$. $z = 10$の場合、$x+y=20$。可能な組み合わせは$(x, y) =$なし.

もし、$x=10, y=50, z=30$であれば、$w = (x+z)/2 = (10+30)/2 = 20$。この場合、$10, 50, 30, 20$ となり、$x, y, z, w$ はすべて異なる値になります。

もし、$x=50, y=10, z=30$であれば、$w = (x+z)/2 = (50+30)/2 = 40$。この場合、$40$は$10, 20, 30, 50$に含まれていないため、条件を満たしません。

もし、$x=10, y=30, z=20$であれば、$w = (x+z)/2 = (10+20)/2 = 15$。この場合、$15$は$10, 20, 30, 50$に含まれていないため、条件を満たしません。

もし、$x=30, y=10, z=20$であれば、$w = (x+z)/2 = (30+20)/2 = 25$。この場合、$25$は$10, 20, 30, 50$に含まれていないため、条件を満たしません。

したがって、$x=10, y=50, z=30, w=20$ が答えとなります。

3. 最終的な答え

50 点