関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 1$ ($x \geq 1$) の最小値を $g(a)$ とするとき、以下の問題を解く。 (1) $g(a)$ を $a$ で表す。 (2) $g(a)$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 1$ ($x \geq 1$) の最小値を $g(a)$ とするとき、以下の問題を解く。

(1) $g(a)$ を $a$ で表す。

(2) $g(a)$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $g(a)$ を求める。

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 1 = (x - a)^2 - a^2 + 2a + 1$

軸は $x = a$ である。定義域は $x \geq 1$ である。

(i) $a < 1$ のとき、最小値は $x = 1$ でとる。

$g(a) = f(1) = 1^2 - 2a(1) + 2a + 1 = 1 - 2a + 2a + 1 = 2$

(ii) $a \geq 1$ のとき、最小値は $x = a$ でとる。

$g(a) = f(a) = (a - a)^2 - a^2 + 2a + 1 = -a^2 + 2a + 1$

したがって、$g(a)$ は次のように表される。

$g(a) = \begin{cases} 2 & (a < 1) \\ -a^2 + 2a + 1 & (a \geq 1) \end{cases}$

(2) $g(a)$ の最大値を求める。

(i) $a < 1$ のとき、$g(a) = 2$

(ii) $a \geq 1$ のとき、$g(a) = -a^2 + 2a + 1 = -(a^2 - 2a) + 1 = -(a - 1)^2 + 1 + 1 = -(a - 1)^2 + 2$

$a \geq 1$ において、$g(a)$ は $a = 1$ のとき最大値2をとる。

したがって、$g(a)$ の最大値は2である。

3. 最終的な答え

(1)

$g(a) = \begin{cases} 2 & (a < 1) \\ -a^2 + 2a + 1 & (a \geq 1) \end{cases}$

(2)

$g(a)$ の最大値は 2