与えられた置換の符号を求めます。 (1) 置換 $\sigma_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 6 & 8 & 7 & 1 & 9 & 4 & 3 & 5 & 2 \end{pmatrix}$ (2) 置換 $\sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\ n & n-1 & \cdots & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (ただし $n \ge 2$)

1. 問題の内容

与えられた置換の符号を求めます。

(1) 置換 $\sigma_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 6 & 8 & 7 & 1 & 9 & 4 & 3 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

(2) 置換 $\sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\ n & n-1 & \cdots & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (ただし $n \ge 2$)

2. 解き方の手順

(1) 置換 $\sigma_1$ の符号を求めます。

$\sigma_1$ を互換の積で表します。

例えば、以下の手順で分解できます。

1 -> 6 -> 4 -> 1

2 -> 8 -> 5 -> 9 -> 2

3 -> 7 -> 3

よって、

$\sigma_1 = (1\ 6\ 4)(2\ 8\ 5\ 9)(3\ 7)$

さらに互換に分解すると、

$(1\ 6\ 4) = (1\ 4)(1\ 6)$

$(2\ 8\ 5\ 9) = (2\ 9)(2\ 5)(2\ 8)$

$(3\ 7)$

したがって、

$\sigma_1 = (1\ 4)(1\ 6)(2\ 9)(2\ 5)(2\ 8)(3\ 7)$

$\sigma_1$ は 6 個の互換の積で表されるので、$\sigma_1$ の符号は $(-1)^6 = 1$ です。

(2) 置換 $\sigma_2$ の符号を求めます。

$\sigma_2$ は $(1\ n)(2\ n-1) \cdots$ という互換の積で表されます。

$n$ が偶数のとき、$\sigma_2$ は $n/2$ 個の互換の積で表されます。

$n$ が奇数のとき、$\sigma_2$ は $(n-1)/2$ 個の互換と動かない要素を含みます。

したがって、$n$ の偶奇に関わらず $\sigma_2$ は $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ 個の互換の積で表されます。

$\sigma_2$ の符号は $(-1)^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}$ です。

もう一つの解法としては、転倒数を用いる方法があります。$\sigma_2$の転倒数を$I(\sigma_2)$とすると、

$I(\sigma_2) = (n-1) + (n-2) + \cdots + 1 + 0 = \frac{n(n-1)}{2}$

よって、$\sigma_2$の符号は $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$です。

$n$が偶数の時、$n=2k$とすると、$\frac{n(n-1)}{2} = k(2k-1)$。$k(2k-1) \equiv k \pmod{2}$。

$n$が奇数の時、$n=2k+1$とすると、$\frac{n(n-1)}{2} = k(2k+1)$。$k(2k+1) \equiv k \pmod{2}$。

よって、$(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} = (-1)^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}$

3. 最終的な答え

(1) $\sigma_1$ の符号は $1$ です。

(2) $\sigma_2$ の符号は $(-1)^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}$ です。