X, Y, Zの3人が合計15冊の本を借りた。Xが借りた本の冊数はYの2倍以上であり、Zが借りた本の冊数はXの2倍以上かつYの5倍以下である。このとき、Zが借りた本の冊数を求める。

1. 問題の内容

X, Y, Zの3人が合計15冊の本を借りた。Xが借りた本の冊数はYの2倍以上であり、Zが借りた本の冊数はXの2倍以上かつYの5倍以下である。このとき、Zが借りた本の冊数を求める。

2. 解き方の手順

X, Y, Z が借りた本の冊数をそれぞれ $x, y, z$ とすると、問題文より以下の条件が成り立つ。

* $x + y + z = 15$

* $x \geq 2y$

* $z \geq 2x$

* $z \leq 5y$

これらの条件を使って、$z$ の値を絞り込む。

$x \geq 2y$ より、 $y \leq \frac{x}{2}$。

$z \geq 2x$ より、$x \leq \frac{z}{2}$。

$x + y + z = 15$ に $y \leq \frac{x}{2}$ を代入すると、$x + \frac{x}{2} + z \geq 15$、つまり $\frac{3x}{2} + z \geq 15$。

これに $x \leq \frac{z}{2}$ を代入すると、$\frac{3}{2} \cdot \frac{z}{2} + z \geq 15$、つまり $\frac{3z}{4} + z \geq 15$、つまり $\frac{7z}{4} \geq 15$、つまり $z \geq \frac{60}{7} \approx 8.57$。

したがって、$z \geq 9$ である。

$x + y + z = 15$ に $x \geq 2y$ と $z \leq 5y$ を代入すると、$2y + y + 5y \geq 15$、つまり $8y \geq 15$、つまり $y \geq \frac{15}{8} \approx 1.875$。

したがって、$y \geq 2$。

$z \leq 5y$ より、$y \geq \frac{z}{5}$。

$x + y + z = 15$ より、$x + z = 15 - y$。

$x \geq 2y$ より、$x = 15 - y - z \geq 2y$、つまり $15 \geq 3y + z$。

よって、$z \leq 15 - 3y$。

$y = 2$ のとき、$z \leq 15 - 3(2) = 9$。 また，$z \geq 2x$、$x \geq 2y = 4$より、$z \geq 8$。従って、$z=8,9$。しかし$z\le 5y = 10$を満たす。

- $z = 8$ のとき、$x = 15 - 2 - 8 = 5$。このとき、$x \geq 2y$ は満たされ、$z \geq 2x$ は満たされない。

- $z = 9$ のとき、$x = 15 - 2 - 9 = 4$。このとき、$x \geq 2y$ は満たされ、$z \geq 2x = 8$を満たされる。$z \le 5y=10$も満たす。

$y = 3$ のとき、$z \leq 15 - 3(3) = 6$。 また，$z \geq 2x$、$x \geq 2y = 6$より、$z \geq 12$。しかし$z\le 5y = 15$を満たす。これは不可能。

$y = 1$のとき、$z \leq 15 - 3 = 12$。$x\ge 2$より、$z\ge 4$を満たす。

したがって、$y=2, x=4, z=9$が条件を満たす。

3. 最終的な答え

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