あるクラスの生徒20人が5点満点の小テストを受けました。生徒の点数と人数が表で与えられており、3点の生徒数が $x$ 人、5点の生徒数が $y$ 人です。全体の平均点が3.5点のとき、$x$ と $y$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

あるクラスの生徒20人が5点満点の小テストを受けました。生徒の点数と人数が表で与えられており、3点の生徒数が $x$ 人、5点の生徒数が $y$ 人です。全体の平均点が3.5点のとき、$x$ と $y$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、生徒数の合計が20人であることから、以下の式が成り立ちます。

$2 + 3 + x + 7 + y = 20$

これを整理すると、

$x + y = 20 - 2 - 3 - 7$

$x + y = 8$

次に、平均点が3.5点であることから、合計点を計算し、以下の式を立てます。

$\frac{1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times x + 4 \times 7 + 5 \times y}{20} = 3.5$

分子を計算すると、

$2 + 6 + 3x + 28 + 5y = 3.5 \times 20$

$36 + 3x + 5y = 70$

$3x + 5y = 70 - 36$

$3x + 5y = 34$

これで、$x$ と $y$ についての連立方程式が得られました。

$x + y = 8$

$3x + 5y = 34$

1つ目の式から $x = 8 - y$ を得て、これを2つ目の式に代入します。

$3(8 - y) + 5y = 34$

$24 - 3y + 5y = 34$

$2y = 34 - 24$

$2y = 10$

$y = 5$

$y = 5$ を $x + y = 8$ に代入すると、

$x + 5 = 8$

$x = 8 - 5$

$x = 3$

3. 最終的な答え

$x = 3$

$y = 5$