問題1は、(1)の式 $(x+y+z)^3$ を展開し、(2)から(5)の式を因数分解する問題です。 問題2は、与えられた式の展開式において、指定された項の係数を求める問題です。 (1) $(x-3)^6$ の $x^3$ の項の係数 (2) $(2x+3y)^5$ の $x^3y^2$ の項の係数 (3) $(x^3+1)^4$ の $x^6$ の項の係数

1. 問題の内容

問題1は、(1)の式 $(x+y+z)^3$ を展開し、(2)から(5)の式を因数分解する問題です。

問題2は、与えられた式の展開式において、指定された項の係数を求める問題です。

(1) $(x-3)^6$ の $x^3$ の項の係数

(2) $(2x+3y)^5$ の $x^3y^2$ の項の係数

(3) $(x^3+1)^4$ の $x^6$ の項の係数

2. 解き方の手順

問題1

(1) $(x+y+z)^3$ の展開

$(x+y+z)^3 = (x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)$を展開します。

$(x+y+z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2y + 3x^2z + 3xy^2 + 3xz^2 + 3y^2z + 3yz^2 + 6xyz$

(2) $27x^3 + 64$ の因数分解

$27x^3 + 64 = (3x)^3 + 4^3$ と変形できます。

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を用いると

$27x^3 + 64 = (3x + 4)(9x^2 - 12x + 16)$

(3) $x^3 - 125y^3$ の因数分解

$x^3 - 125y^3 = x^3 - (5y)^3$ と変形できます。

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を用いると

$x^3 - 125y^3 = (x - 5y)(x^2 + 5xy + 25y^2)$

(4) $8x^3 - 12x^2 + 6x - 1$ の因数分解

$8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = (2x)^3 - 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 - 1^3$

これは $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ の形なので

$8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = (2x - 1)^3$

(5) $x^3 - y^3 - z^3 - 3xyz$ の因数分解

$x^3 - y^3 - z^3 - 3xyz = x^3 + (-y)^3 + (-z)^3 - 3x(-y)(-z)$

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

$x^3 - y^3 - z^3 - 3xyz = (x - y - z)(x^2 + y^2 + z^2 + xy + xz - yz)$

問題2

(1) $(x-3)^6$ の $x^3$ の項の係数

二項定理より、$(x-3)^6 = \sum_{k=0}^{6} {}_6 C_k x^k (-3)^{6-k}$

$x^3$ の項は $k=3$ のときなので、${}_6 C_3 x^3 (-3)^{6-3} = {}_6 C_3 x^3 (-3)^3$

${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$(-3)^3 = -27$

よって、係数は $20 \times (-27) = -540$

(2) $(2x+3y)^5$ の $x^3y^2$ の項の係数

二項定理より、$(2x+3y)^5 = \sum_{k=0}^{5} {}_5 C_k (2x)^k (3y)^{5-k}$

$x^3y^2$ の項は $k=3$ のときなので、${}_5 C_3 (2x)^3 (3y)^{5-3} = {}_5 C_3 (2x)^3 (3y)^2$

${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$(2x)^3 = 8x^3$

$(3y)^2 = 9y^2$

よって、係数は $10 \times 8 \times 9 = 720$

(3) $(x^3+1)^4$ の $x^6$ の項の係数

二項定理より、$(x^3+1)^4 = \sum_{k=0}^{4} {}_4 C_k (x^3)^k (1)^{4-k}$

$x^6$ の項は $3k = 6$、つまり $k=2$ のときなので、${}_4 C_2 (x^3)^2 (1)^{4-2} = {}_4 C_2 x^6 (1)^2$

${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

よって、係数は $6 \times 1 = 6$

3. 最終的な答え

問題1

(1) $x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2y + 3x^2z + 3xy^2 + 3xz^2 + 3y^2z + 3yz^2 + 6xyz$

(2) $(3x + 4)(9x^2 - 12x + 16)$

(3) $(x - 5y)(x^2 + 5xy + 25y^2)$

(4) $(2x - 1)^3$

(5) $(x - y - z)(x^2 + y^2 + z^2 + xy + xz - yz)$

問題2

(1) -540

(2) 720

(3) 6