(1) 条件 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ の下で、$h(x, y) = xy$ の最大値と最小値を求めます。 (2) 条件 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy = 0$ の下で、$h(x, y) = x^2 + y^2$ の極値を求めます。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

(1) 条件 $f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ の下で、$h(x, y) = xy$ の最大値と最小値を求めます。

(2) 条件 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy = 0$ の下で、$h(x, y) = x^2 + y^2$ の極値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + y^2 = 1$という条件があるので、$x = \cos\theta$, $y = \sin\theta$ とおくことができます。このとき、

$h(x, y) = xy = \cos\theta \sin\theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta)$

$-1 \le \sin(2\theta) \le 1$なので、$-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin(2\theta) \le \frac{1}{2}$となります。

したがって、最大値は$\frac{1}{2}$、最小値は$-\frac{1}{2}$です。

(2)

$x^3 + y^3 - 3xy = 0$という条件があるので、因数分解すると、

$(x+y)(x^2-xy+y^2)-3xy = 0$

ここで、$x+y=s$, $xy=t$とおくと、$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = s^2 - 2t$

条件式は$(x+y)(x^2-xy+y^2)-3xy = (x+y)((x+y)^2-3xy)-3xy = s(s^2-3t)-3t = s^3-3st-3t = 0$となります。

したがって、$t = \frac{s^3}{3(s+1)}$となります。

$h(x,y) = x^2+y^2 = s^2 - 2t = s^2 - \frac{2s^3}{3(s+1)}$

$h'(s) = 2s - \frac{6s^2(3(s+1)) - 2s^3(3)}{9(s+1)^2} = 2s - \frac{18s^3 + 18s^2 - 6s^3}{9(s+1)^2} = 2s - \frac{12s^3 + 18s^2}{9(s+1)^2}$

$= 2s(1 - \frac{6s^2 + 9s}{9(s+1)^2}) = 2s(\frac{9(s^2 + 2s + 1)-6s^2-9s}{9(s+1)^2}) = 2s(\frac{3s^2+9s+9}{9(s+1)^2})$

$h'(s) = 0$となるのは$s=0$の時。このとき、$h(0, 0) = 0$。

また、葉線（デカルトの正葉線）は、原点においてループを描いているので、原点が極値となる。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\frac{1}{2}$, 最小値: $-\frac{1}{2}$

(2) 極値: $0$