関数 $f(x) = \frac{3x+a}{x^2+1}$ が与えられています。この関数が $x=3$ で極値をとるような定数 $a$ の値を求める問題です。

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2. 関数 $f(x) = \frac{3x+a}{x^2+1}$ が $x=3$ で極値をとるように定数 $a$ の値を定めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{3x+a}{x^2+1}$ が与えられています。この関数が $x=3$ で極値をとるような定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数が $x=3$ で極値をとるということは、$x=3$ で微分係数 $f'(3)$ が0になるということです。まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = \frac{3x+a}{x^2+1}$

商の微分法を使って微分します。

$f'(x) = \frac{3(x^2+1) - (3x+a)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{3x^2+3 - 6x^2 - 2ax}{(x^2+1)^2} = \frac{-3x^2 - 2ax + 3}{(x^2+1)^2}$

$x=3$ で極値をとるので、$f'(3) = 0$ となります。

$f'(3) = \frac{-3(3^2) - 2a(3) + 3}{(3^2+1)^2} = \frac{-27 - 6a + 3}{100} = \frac{-24 - 6a}{100} = 0$

$-24 - 6a = 0$

$-6a = 24$

$a = -4$

3. 最終的な答え

$a = -4$