## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

以下の2つの問題について、それぞれの解き方と答えを求めます。

**問題107**

9人を次のように分けるとき、分け方は何通りあるか。

(1) 3人ずつの3つの組に分ける。

(2) 4人、3人、2人の3つの組に分ける。

##

2. 解き方の手順

**(1) 3人ずつの3つの組に分ける**

* 9人から3人を選ぶ組み合わせは ${}_9 C_3$ 通り。

* 残りの6人から3人を選ぶ組み合わせは ${}_6 C_3$ 通り。

* 残りの3人は自動的に決まるので ${}_3 C_3 = 1$ 通り。

* したがって、3つの組への分け方は、${}_9 C_3 \times {}_6 C_3 \times {}_3 C_3$ 通り。

* ただし、3つの組は区別しないので、3!で割る必要がある。

$\frac{{}_9 C_3 \times {}_6 C_3 \times {}_3 C_3}{3!} = \frac{\frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!}}{3!} = \frac{9!}{(3!)^3 \times 3!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6} = 280$

**(2) 4人、3人、2人の3つの組に分ける**

* 9人から4人を選ぶ組み合わせは ${}_9 C_4$ 通り。

* 残りの5人から3人を選ぶ組み合わせは ${}_5 C_3$ 通り。

* 残りの2人は自動的に決まるので ${}_2 C_2 = 1$ 通り。

* したがって、分け方は ${}_9 C_4 \times {}_5 C_3 \times {}_2 C_2$ 通り。

* 組は区別されているので、割る必要はない。

${}_9 C_4 \times {}_5 C_3 \times {}_2 C_2 = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{9!}{4!3!2!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \times \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \times 1 = 126 \times 10 \times 1 = 1260$

##

3. 最終的な答え

**(1) 3人ずつの3つの組に分ける**

280通り

**(2) 4人、3人、2人の3つの組に分ける**

1260通り