問題は、2つの絶対値不等式を解くことです。 (2) $|x-3| \le -2x$ (3) $|x+2| > 3x$

1. 問題の内容

問題は、2つの絶対値不等式を解くことです。

(2) $|x-3| \le -2x$

(3) $|x+2| > 3x$

2. 解き方の手順

(2) $|x-3| \le -2x$

絶対値の性質より、$x-3 \ge 0$ のとき、つまり $x \ge 3$ のとき、$|x-3| = x-3$ となる。

$x-3 < 0$ のとき、つまり $x < 3$ のとき、$|x-3| = -(x-3) = 3-x$ となる。

i) $x \ge 3$ のとき、

$x-3 \le -2x$

$3x \le 3$

$x \le 1$

$x \ge 3$ と $x \le 1$ を同時に満たす $x$ は存在しないので、この場合は解なし。

ii) $x < 3$ のとき、

$3-x \le -2x$

$x \le -3$

$x < 3$ と $x \le -3$ を同時に満たす $x$ は、$x \le -3$ である。

したがって、(2)の解は、$x \le -3$

(3) $|x+2| > 3x$

絶対値の性質より、$x+2 \ge 0$ のとき、つまり $x \ge -2$ のとき、$|x+2| = x+2$ となる。

$x+2 < 0$ のとき、つまり $x < -2$ のとき、$|x+2| = -(x+2) = -x-2$ となる。

i) $x \ge -2$ のとき、

$x+2 > 3x$

$-2x > -2$

$x < 1$

$x \ge -2$ と $x < 1$ を同時に満たす $x$ は、$-2 \le x < 1$ である。

ii) $x < -2$ のとき、

$-x-2 > 3x$

$-4x > 2$

$x < -\frac{1}{2}$

$x < -2$ と $x < -\frac{1}{2}$ を同時に満たす $x$ は、$x < -2$ である。

したがって、(3)の解は、$x < 1$

3. 最終的な答え

(2) $x \le -3$

(3) $x < 1$