2次方程式 $x^2 - 2mx + 2 = 0$ が与えられた条件を満たすとき、$m$ の値の範囲を求める問題です。 (1) 1つの解が2より大きく、もう1つの解が1より小さい。 (2) 2つの異なる解が $-1$ と $2$ の間にある。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + 2 = 0$ が与えられた条件を満たすとき、$m$ の値の範囲を求める問題です。

(1) 1つの解が2より大きく、もう1つの解が1より小さい。

(2) 2つの異なる解が $-1$ と $2$ の間にある。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 2mx + 2 = 0$ の解を $\alpha$ と $\beta$ とします。条件より $\alpha > 2$ かつ $\beta < 1$ または $\alpha < 1$ かつ $\beta > 2$。

$f(x) = x^2 - 2mx + 2$ とおくと、$f(1) < 0$ かつ $f(2) < 0$ が成り立ちます。

$f(1) = 1 - 2m + 2 = 3 - 2m < 0$ より $2m > 3$ よって $m > \frac{3}{2}$。

$f(2) = 4 - 4m + 2 = 6 - 4m < 0$ より $4m > 6$ よって $m > \frac{3}{2}$。

これより、$m > \frac{3}{2}$

(2) 2次方程式 $x^2 - 2mx + 2 = 0$ が $-1$ と $2$ の間に異なる2つの解を持つためには、

判別式 $D > 0$ かつ $f(-1) > 0$ かつ $f(2) > 0$ かつ $-1 <$ 軸 $< 2$ が成り立つ必要があります。

$D = (-2m)^2 - 4(1)(2) = 4m^2 - 8 > 0$ より $m^2 > 2$ よって $m < -\sqrt{2}$ または $m > \sqrt{2}$。

$f(-1) = (-1)^2 - 2m(-1) + 2 = 1 + 2m + 2 = 2m + 3 > 0$ より $2m > -3$ よって $m > -\frac{3}{2}$。

$f(2) = (2)^2 - 2m(2) + 2 = 4 - 4m + 2 = 6 - 4m > 0$ より $4m < 6$ よって $m < \frac{3}{2}$。

軸は $x = -\frac{-2m}{2} = m$ なので、 $-1 < m < 2$。

これらの条件をすべて満たす $m$ の範囲は $-\frac{3}{2} < m < -\sqrt{2}$ または $\sqrt{2} < m < \frac{3}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $m > \frac{3}{2}$

(2) $-\frac{3}{2} < m < -\sqrt{2}$ または $\sqrt{2} < m < \frac{3}{2}$