点A(4,3), B(4,-4)があり、直線l: $y=3x$ がある。点Aを通り、直線lに平行な直線をmとする。 (i) △OABの面積を求める。 (ii) 直線mの式を求める。 (iii) 直線m上にy座標が負である点Cを、△OABと△OACの面積が等しくなるようにとる。点Cの座標を求める。

1. 問題の内容

点A(4,3), B(4,-4)があり、直線l: $y=3x$ がある。点Aを通り、直線lに平行な直線をmとする。

(i) △OABの面積を求める。

(ii) 直線mの式を求める。

(iii) 直線m上にy座標が負である点Cを、△OABと△OACの面積が等しくなるようにとる。点Cの座標を求める。

2. 解き方の手順

(i) △OABの面積を求める。点Aと点Bのx座標は同じなので、ABはy軸に平行な直線となる。

したがって、ABを底辺と考えると、高さは原点Oから直線ABまでの距離（x座標の絶対値）となる。

ABの長さは、$3 - (-4) = 7$。

原点から直線ABまでの距離は、$|4| = 4$。

よって、△OABの面積は、$(1/2) \times 7 \times 4 = 14$。

(ii) 直線mの式を求める。

直線mは直線lに平行なので、$y = 3x + b$ と表せる。

直線mは点A(4,3)を通るので、

$3 = 3 \times 4 + b$

$3 = 12 + b$

$b = -9$

したがって、直線mの式は $y = 3x - 9$。

(iii) 点Cの座標を求める。

点Cは直線m上にあるので、点Cの座標を $(x, 3x-9)$ とする。

△OACの面積は、△OABの面積と等しいので14である。

△OACの面積を求めるために、原点Oから直線ACまでの距離を考える。

△OABと△OACの面積が等しいとき、AB//OC、もしくはABとOCの距離が等しいことになる。

△OABと△OACの面積が等しいとき、点Cのy座標は負なので、C(x,y)とおくと、

AB//OCより、$3x - 9 = -4$。これから$3x = 5$より、$x = 5/3$。このとき$C(5/3, -4)$.

あるいは、

$\triangle OAB = \triangle OAC$ であることから、$AB$と$AC$の距離が原点Oからの距離で等しくなることを利用して面積を求める。

$AB=7$なので、点Oから直線ABまでの距離が4であり、三角形の面積は$1/2 \times 7 \times 4 = 14$となる。

$\triangle OAC=14$であることから、点Cの$y$座標を求めることを考える。点Cは$y=3x-9$上の点であることから、$|3x-9|=y$となるので、$y=-4$となる。

$3x-9=-4$ より、$3x=5$、$x=5/3$

よって点Cの座標は$(5/3, -4)$

3. 最終的な答え

(i) △OABの面積: 14

(ii) 直線mの式: $y = 3x - 9$

(iii) 点Cの座標: $(\frac{5}{3}, -4)$