兄弟2人で3000円の品物を買う。兄は所持金の $\frac{1}{2}$ を出し、弟は所持金の $\frac{2}{5}$ を出した。残りの所持金を比べたら、兄の方が300円多かった。2人の初めの所持金はそれぞれいくらか。

1. 問題の内容

兄弟2人で3000円の品物を買う。兄は所持金の $\frac{1}{2}$ を出し、弟は所持金の $\frac{2}{5}$ を出した。残りの所持金を比べたら、兄の方が300円多かった。2人の初めの所持金はそれぞれいくらか。

2. 解き方の手順

兄の初めの所持金を $x$ 円、弟の初めの所持金を $y$ 円とする。

まず、品物の代金についての式を立てる。

兄が出した金額は $\frac{1}{2}x$ 円、弟が出した金額は $\frac{2}{5}y$ 円である。

したがって、

$\frac{1}{2}x + \frac{2}{5}y = 3000$

次に、残りの所持金についての式を立てる。

兄の残りの所持金は $x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x$ 円、弟の残りの所持金は $y - \frac{2}{5}y = \frac{3}{5}y$ 円である。

兄の残りの所持金は弟の残りの所持金より300円多いので、

$\frac{1}{2}x = \frac{3}{5}y + 300$

したがって、連立方程式は次のようになる。

$\begin{cases} \frac{1}{2}x + \frac{2}{5}y = 3000 \\ \frac{1}{2}x = \frac{3}{5}y + 300 \end{cases}$

1つ目の式を5倍、2つ目の式を10倍すると、

$\begin{cases} \frac{5}{2}x + 2y = 15000 \\ 5x = 6y + 3000 \end{cases}$

$\begin{cases} 5x + 4y = 30000 \\ 5x - 6y = 3000 \end{cases}$

上の式から下の式を引くと、

$10y = 27000$

$y = 2700$

これを1つ目の式に代入すると、

$5x + 4(2700) = 30000$

$5x + 10800 = 30000$

$5x = 19200$

$x = 3840$

3. 最終的な答え

兄の初めの所持金は3840円、弟の初めの所持金は2700円。