二つの不等式、$\frac{x+3}{4} \le \frac{2}{3}x - 1$ (1) と $\frac{x-2a}{3} \le \frac{x-4}{5}$ (2) が与えられている。 (1) それぞれの不等式を解く。 (2) 不等式(1)と(2)を同時に満たす整数がちょうど2個存在するような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

二つの不等式、$\frac{x+3}{4} \le \frac{2}{3}x - 1$ (1) と $\frac{x-2a}{3} \le \frac{x-4}{5}$ (2) が与えられている。

(1) それぞれの不等式を解く。

(2) 不等式(1)と(2)を同時に満たす整数がちょうど2個存在するような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式(1)を解く。

$\frac{x+3}{4} \le \frac{2}{3}x - 1$

両辺に12をかける。

$3(x+3) \le 8x - 12$

$3x+9 \le 8x - 12$

$-5x \le -21$

$x \ge \frac{21}{5}$

不等式(2)を解く。

$\frac{x-2a}{3} \le \frac{x-4}{5}$

両辺に15をかける。

$5(x-2a) \le 3(x-4)$

$5x - 10a \le 3x - 12$

$2x \le 10a - 12$

$x \le 5a - 6$

(2)

不等式(1)と(2)を同時に満たす整数がちょうど2個である条件を考える。

不等式(1)より $x \ge \frac{21}{5} = 4.2$

不等式(2)より $x \le 5a-6$

したがって、共通範囲にある整数は5以上となる。

共通範囲にある整数が5と6のみであるとき、

$6 \le 5a-6 < 7$

$12 \le 5a < 13$

$\frac{12}{5} \le a < \frac{13}{5}$

$2.4 \le a < 2.6$

3. 最終的な答え

(1) 不等式(1)の解は $x \ge \frac{21}{5}$

不等式(2)の解は $x \le 5a - 6$

(2) $a$ の値の範囲は $\frac{12}{5} \le a < \frac{13}{5}$