与えられた2次関数 $f(x) = -x^2 + 6ax - 9a + 2$ (ただし、$a$ は定数)について、以下の3つの問いに答えます。 (i) 放物線 $y = f(x)$ の頂点を求める。 (ii) 放物線 $y = f(x)$ が $x$ 軸と共有点をもたないような $a$ の値の範囲を求める。 (iii) $a > 1$ とするとき、$0 \le x \le 3a - 2$ における関数 $f(x)$ の最大値が16のとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $f(x) = -x^2 + 6ax - 9a + 2$ (ただし、$a$ は定数)について、以下の3つの問いに答えます。

(i) 放物線 $y = f(x)$ の頂点を求める。

(ii) 放物線 $y = f(x)$ が $x$ 軸と共有点をもたないような $a$ の値の範囲を求める。

(iii) $a > 1$ とするとき、$0 \le x \le 3a - 2$ における関数 $f(x)$ の最大値が16のとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(i) 頂点を求める。

$f(x)$ を平方完成します。

\begin{align*}

f(x) &= -x^2 + 6ax - 9a + 2 \\

&= -(x^2 - 6ax) - 9a + 2 \\

&= -(x^2 - 6ax + 9a^2 - 9a^2) - 9a + 2 \\

&= -(x - 3a)^2 + 9a^2 - 9a + 2

\end{align*}

よって、頂点の座標は $(3a, 9a^2 - 9a + 2)$。

(ii) $y = f(x)$ が $x$ 軸と共有点をもたない条件を求める。

$f(x) = 0$ が実数解を持たない条件を求めればよい。頂点の $y$ 座標が正であればよい。

$9a^2 - 9a + 2 > 0$

$(3a - 1)(3a - 2) > 0$

$a < \frac{1}{3}$ または $a > \frac{2}{3}$

(iii) $a > 1$ のとき、$0 \le x \le 3a - 2$ における $f(x)$ の最大値が16となる $a$ の値を求める。

放物線は上に凸なので、軸 $x = 3a$ が区間 $0 \le x \le 3a - 2$ に含まれるかどうかで場合分けをする。

(a) $0 \le 3a \le 3a - 2$ のとき。これは成り立たない。

$3a - 2 \ge 3a$ つまり $-2 \ge 0$ となり、矛盾。

(b) $3a > 3a - 2$ より、$3a$ が区間内にあるとき、頂点で最大値をとる。

つまり、$x=3a$ で最大値をとるとき、

$9a^2 - 9a + 2 = 16$

$9a^2 - 9a - 14 = 0$

$(3a - 7)(3a + 2) = 0$

$a = \frac{7}{3}, -\frac{2}{3}$

$a > 1$ より、$a = \frac{7}{3}$

(c) $3a - 2 < 0$ のとき、つまり $a < \frac{2}{3}$ のとき。このとき、$0 \le x \le 3a - 2 < 0$なので、考える必要がない。

(d) $0 < 3a - 2 < 3a$ のとき、$x = 0$ で最大値をとるか、$x = 3a-2$ で最大値を取る。$x=3a$ で最大値を取るのは既に調べたので、$x = 0$ または $x=3a-2$ が区間の端点である場合のみ考える。

$f(0) = -9a + 2 = 16$

$-9a = 14$

$a = -\frac{14}{9}$

これは、$a>1$ に反するので不適。

$f(3a - 2) = 16$

$-(3a - 2)^2 + 6a(3a - 2) - 9a + 2 = 16$

$-(9a^2 - 12a + 4) + 18a^2 - 12a - 9a + 2 = 16$

$9a^2 - 9a - 18 = 0$

$a^2 - a - 2 = 0$

$(a - 2)(a + 1) = 0$

$a = 2, -1$

$a > 1$ より、$a = 2$

区間 $0 \le x \le 3a - 2$ において、$a = 2$ のとき、$0 \le x \le 4$ となり、$f(x) = -x^2 + 12x - 16$。このとき、頂点は $(6, 20)$ で、軸 $x = 6$ は区間外。$f(0) = -16$、$f(4) = -16 + 48 - 16 = 16$ となり、最大値は16となる。

したがって、$a = \frac{7}{3}$ または $a = 2$ が候補。

3. 最終的な答え

(i) 頂点：$(3a, 9a^2 - 9a + 2)$

(ii) $a < \frac{1}{3}$ または $a > \frac{2}{3}$

(iii) $a = \frac{7}{3}, 2$