2次関数 $f(x) = -x^2 + 6ax - 9a + 2$ （$a$ は定数）について、以下の問いに答えます。 (i) 放物線 $y = f(x)$ の頂点を求めます。 (ii) 放物線 $y = f(x)$ が $x$ 軸と共有点をもたないような $a$ の値の範囲を求めます。 (iii) $a > 1$ とします。$0 \leq x \leq 3a - 2$ における関数 $f(x)$ の最大値が 16 のとき、$a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = -x^2 + 6ax - 9a + 2$ （$a$ は定数）について、以下の問いに答えます。

(i) 放物線 $y = f(x)$ の頂点を求めます。

(ii) 放物線 $y = f(x)$ が $x$ 軸と共有点をもたないような $a$ の値の範囲を求めます。

(iii) $a > 1$ とします。$0 \leq x \leq 3a - 2$ における関数 $f(x)$ の最大値が 16 のとき、$a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(i) 頂点を求める

$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 6ax) - 9a + 2 = -(x^2 - 6ax + 9a^2 - 9a^2) - 9a + 2 = -(x - 3a)^2 + 9a^2 - 9a + 2$

したがって、頂点の座標は $(3a, 9a^2 - 9a + 2)$ です。

(ii) $x$ 軸と共有点をもたない条件

$y = f(x)$ が $x$ 軸と共有点をもたない条件は、$f(x) = 0$ が実数解を持たないことです。つまり、判別式 $D < 0$ となることです。

$f(x) = -x^2 + 6ax - 9a + 2 = 0$ の判別式を計算します。

$D/4 = (3a)^2 - (-1)(-9a + 2) = 9a^2 - 9a + 2$

$D/4 < 0$ より、$9a^2 - 9a + 2 < 0$ を解きます。

$(3a - 1)(3a - 2) < 0$

$\frac{1}{3} < a < \frac{2}{3}$

(iii) 最大値が 16 のときの $a$ の値を求める

$a > 1$ のとき、$0 \leq x \leq 3a - 2$ における $f(x)$ の最大値が 16 となる $a$ の値を求めます。

$f(x) = -(x - 3a)^2 + 9a^2 - 9a + 2$ であり、頂点の $x$ 座標は $3a$ です。

区間 $0 \leq x \leq 3a - 2$ の中央の値は $\frac{3a - 2}{2}$ です。

$3a > 3a - 2$ なので、$x = 3a$ は常に区間外となり、$f(x)$ は単調減少です。したがって、$x = 0$ で最大値を取ります。

よって、$f(0) = -0^2 + 6a(0) - 9a + 2 = -9a + 2 = 16$

$-9a = 14$

$a = -\frac{14}{9}$

しかし、$a > 1$ という条件に反するので、これは解ではありません。

次に、軸の位置関係を考慮します。$0 \le x \le 3a-2$において、頂点$x=3a$が範囲外なので、区間内で最大値を取るのは$x=0$または$x=3a-2$のいずれかになります。

$f(x)$のグラフは上に凸の放物線なので、最大値は頂点の$y$座標である$9a^2-9a+2$である可能性があります。

$9a^2 - 9a + 2 = 16$

$9a^2 - 9a - 14 = 0$

$(3a - 7)(3a + 2) = 0$

$a = \frac{7}{3}$ または $a = -\frac{2}{3}$

$a > 1$ より、$a = \frac{7}{3}$

このとき、$3a - 2 = 3 \cdot \frac{7}{3} - 2 = 7 - 2 = 5$

区間は $0 \leq x \leq 5$ であり、頂点の $x$ 座標は $3a = 7$ なので区間外です。

$f(0) = -9a + 2 = -9 \cdot \frac{7}{3} + 2 = -21 + 2 = -19$

$f(5) = -5^2 + 6a \cdot 5 - 9a + 2 = -25 + 30a - 9a + 2 = 21a - 23 = 21 \cdot \frac{7}{3} - 23 = 49 - 23 = 26$

$f(x)$の最大値が16であるという条件を満たさない。

最後に、$f(3a-2) = 16$の場合を考えます。

$f(3a-2) = -(3a-2)^2 + 6a(3a-2) - 9a + 2 = 16$

$-(9a^2 - 12a + 4) + 18a^2 - 12a - 9a + 2 = 16$

$-9a^2 + 12a - 4 + 18a^2 - 21a + 2 = 16$

$9a^2 - 9a - 18 = 0$

$a^2 - a - 2 = 0$

$(a - 2)(a + 1) = 0$

$a = 2$ または $a = -1$

$a > 1$ より、$a = 2$

このとき、$3a - 2 = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$

区間は $0 \leq x \leq 4$ であり、頂点の $x$ 座標は $3a = 6$ なので区間外です。

$f(0) = -9a + 2 = -9 \cdot 2 + 2 = -18 + 2 = -16$

$f(4) = -4^2 + 6a \cdot 4 - 9a + 2 = -16 + 24a - 9a + 2 = 15a - 14 = 15 \cdot 2 - 14 = 30 - 14 = 16$

したがって、$a = 2$ が条件を満たす解です。

3. 最終的な答え

(i) $(3a, 9a^2 - 9a + 2)$

(ii) $\frac{1}{3} < a < \frac{2}{3}$

(iii) $a = 2$