二つの不等式 $\frac{x+3}{4} \leq \frac{2}{3}x - 1$ (1) $\frac{x-2a}{3} \leq \frac{x-4}{5}$ (2) がある。 (1) 不等式(1), (2)をそれぞれ解け。 (2) 不等式(1)と(2)を同時に満たす整数がちょうど2個存在するような$a$の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

二つの不等式

$\frac{x+3}{4} \leq \frac{2}{3}x - 1$ (1)

$\frac{x-2a}{3} \leq \frac{x-4}{5}$ (2)

がある。

(1) 不等式(1), (2)をそれぞれ解け。

(2) 不等式(1)と(2)を同時に満たす整数がちょうど2個存在するような$a$の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式(1)を解く

$\frac{x+3}{4} \leq \frac{2}{3}x - 1$

両辺に12を掛ける。

$3(x+3) \leq 8x - 12$

$3x+9 \leq 8x - 12$

$21 \leq 5x$

$\frac{21}{5} \leq x$

よって、$x \geq \frac{21}{5}$

不等式(2)を解く

$\frac{x-2a}{3} \leq \frac{x-4}{5}$

両辺に15を掛ける。

$5(x-2a) \leq 3(x-4)$

$5x - 10a \leq 3x - 12$

$2x \leq 10a - 12$

$x \leq 5a - 6$

(2) 不等式(1)と(2)を同時に満たす整数がちょうど2個存在する条件を考える。

不等式(1)より、$x \geq \frac{21}{5} = 4.2$

不等式(2)より、$x \leq 5a - 6$

$x$は整数であるから、不等式(1)を満たす最小の整数は5である。

したがって、不等式(1)と(2)を同時に満たす整数がちょうど2個であるとき、その整数は5と6である。

よって、$6 \leq 5a - 6 < 7$

$12 \leq 5a < 13$

$\frac{12}{5} \leq a < \frac{13}{5}$

$2.4 \leq a < 2.6$

3. 最終的な答え

(1) 不等式(1)の解：$x \geq \frac{21}{5}$

不等式(2)の解：$x \leq 5a - 6$

(2) $a$の値の範囲：$\frac{12}{5} \leq a < \frac{13}{5}$ ($2.4 \leq a < 2.6$)