以下の2つの式を展開する問題です。 (1) $(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$ (2) $(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)$

1. 問題の内容

以下の2つの式を展開する問題です。

(1) $(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$

(2) $(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、最初の2つの括弧を展開します。

$(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2) = (x^2 + y^2 + xy)(x^2 + y^2 - xy)$

これは、$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ の形なので、

$(x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 = x^4 + x^2y^2 + y^4$

次に、これと最後の括弧を展開します。

$(x^4 + x^2y^2 + y^4)(x^4 - x^2y^2 + y^4) = (x^4 + y^4 + x^2y^2)(x^4 + y^4 - x^2y^2)$

これも $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ の形なので、

$(x^4 + y^4)^2 - (x^2y^2)^2 = x^8 + 2x^4y^4 + y^8 - x^4y^4 = x^8 + x^4y^4 + y^8$

(2)

まず、最初の2つの括弧と、後ろの2つの括弧をそれぞれ展開します。

$(x+y+1)(x+y-1) = (x+y)^2 - 1 = x^2 + 2xy + y^2 - 1$

$(x-y+1)(x-y-1) = (x-y)^2 - 1 = x^2 - 2xy + y^2 - 1$

次に、これらを展開します。

$(x^2 + y^2 - 1 + 2xy)(x^2 + y^2 - 1 - 2xy) = (x^2 + y^2 - 1)^2 - (2xy)^2$

$((x^2 + y^2) - 1)^2 - 4x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 2(x^2 + y^2) + 1 - 4x^2y^2$

$= x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 1 - 4x^2y^2$

$= x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 1$

$= x^4 + y^4 - 2x^2y^2 - 2x^2 - 2y^2 + 1$

3. 最終的な答え

(1) $x^8 + x^4y^4 + y^8$

(2) $x^4 + y^4 - 2x^2y^2 - 2x^2 - 2y^2 + 1$