与えられた指数方程式 $8^x - 4^{x+1} + 2^x(2^x + 2) = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた指数方程式 $8^x - 4^{x+1} + 2^x(2^x + 2) = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を2の累乗で表します。

$8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$

$4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)} = 2^{2x+2} = 2^{2x} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{2x}$

$2^x(2^x + 2) = 2^{2x} + 2^{x+1}$

したがって、方程式は次のようになります。

$2^{3x} - 4 \cdot 2^{2x} + 2^{2x} + 2^{x+1} = 0$

$2^{3x} - 3 \cdot 2^{2x} + 2^{x+1} = 0$

$2^x$ で割ります。（$2^x$ は常に正なので、$2^x \ne 0$）

$2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2^1 = 0$

ここで、$y = 2^x$ と置くと、方程式は次のようになります。

$y^2 - 3y + 2 = 0$

これは、$y$ に関する二次方程式です。因数分解して解きます。

$(y - 1)(y - 2) = 0$

したがって、$y = 1$ または $y = 2$ です。

$y = 1$ のとき、$2^x = 1 = 2^0$ より、$x = 0$

$y = 2$ のとき、$2^x = 2 = 2^1$ より、$x = 1$

3. 最終的な答え

$x=0, 1$