問題は、与えられた数列の階差数列を利用して、それぞれの数列の一般項 $a_n$ を求めるというものです。 (1) 1, 2, 4, 7, 11, ... (2) 2, 3, 5, 9, 17, ...

1. 問題の内容

問題は、与えられた数列の階差数列を利用して、それぞれの数列の一般項 $a_n$ を求めるというものです。

(1) 1, 2, 4, 7, 11, ...

(2) 2, 3, 5, 9, 17, ...

2. 解き方の手順

(1) 数列 1, 2, 4, 7, 11, ... の階差数列を求めます。

階差数列は 1, 2, 3, 4, ... となります。これは初項1、公差1の等差数列なので、階差数列の一般項を $b_n$ とすると、

$b_n = n$

数列の一般項 $a_n$ は、

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k$

$a_n = 1 + \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = \frac{n^2 - n + 2}{2}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = \frac{1^2 - 1 + 2}{2} = 1$ となり、初項と一致します。

(2) 数列 2, 3, 5, 9, 17, ... の階差数列を求めます。

階差数列は 1, 2, 4, 8, ... となります。これは初項1、公比2の等比数列なので、階差数列の一般項を $b_n$ とすると、

$b_n = 2^{n-1}$

数列の一般項 $a_n$ は、

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$

$a_n = 2 + \sum_{k=0}^{n-2} 2^{k}$

$a_n = 2 + \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2 - 1}$

$a_n = 2 + 2^{n-1} - 1$

$a_n = 2^{n-1} + 1$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 2^{1-1} + 1 = 1 + 1 = 2$ となり、初項と一致します。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{n^2 - n + 2}{2}$

(2) $a_n = 2^{n-1} + 1$