2次方程式 $x^2 - 5x + 3 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 5x + 3 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用します。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とすると、

$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$$

$$\alpha \beta = \frac{c}{a}$$

が成り立ちます。

与えられた2次方程式 $x^2 - 5x + 3 = 0$ において、$a = 1, b = -5, c = 3$ なので、

$$\alpha + \beta = -\frac{-5}{1} = 5$$

$$\alpha \beta = \frac{3}{1} = 3$$

となります。

次に、$\alpha^2 + \beta^2$ を $(\alpha + \beta)$ と $\alpha \beta$ で表します。

$$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$$

これに$\alpha + \beta = 5$ と $\alpha \beta = 3$ を代入すると、

$$\alpha^2 + \beta^2 = (5)^2 - 2(3) = 25 - 6 = 19$$

3. 最終的な答え

$\alpha^2 + \beta^2 = 19$