$\int \sin 5x \cos 3x \, dx$ を計算する問題です。積和の公式を用いて積分を計算します。与えられた式から、$\int \sin 5x \cos 3x \, dx = \int \frac{1}{2}(\sin 8x + \sin 2x) \, dx$と変換できることがわかります。

1. 問題の内容

$\int \sin 5x \cos 3x \, dx$ を計算する問題です。積和の公式を用いて積分を計算します。与えられた式から、$\int \sin 5x \cos 3x \, dx = \int \frac{1}{2}(\sin 8x + \sin 2x) \, dx$と変換できることがわかります。

2. 解き方の手順

まず、積和の公式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ を用いて、被積分関数を変形します。

この問題では、$A = 5x$, $B = 3x$なので、

$\sin 5x \cos 3x = \frac{1}{2} [\sin(5x+3x) + \sin(5x-3x)] = \frac{1}{2} [\sin 8x + \sin 2x]$となります。

したがって、$\int \sin 5x \cos 3x \, dx = \int \frac{1}{2} (\sin 8x + \sin 2x) \, dx$となります。

次に、積分を計算します。

$\int \frac{1}{2} (\sin 8x + \sin 2x) \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin 8x + \sin 2x) \, dx$

$= \frac{1}{2} \left( \int \sin 8x \, dx + \int \sin 2x \, dx \right)$

$\int \sin 8x \, dx = -\frac{1}{8} \cos 8x + C_1$

$\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C_2$

よって、

$\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{8} \cos 8x - \frac{1}{2} \cos 2x \right) + C = -\frac{1}{16} \cos 8x - \frac{1}{4} \cos 2x + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{16} \cos 8x - \frac{1}{4} \cos 2x + C$