関数 $y = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$ のグラフと、$x$軸、および直線 $x = \pm 1$ で囲まれる部分の面積を求めます。

## 問題1

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$ のグラフと、$x$軸、および直線 $x = \pm 1$ で囲まれる部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

面積 $S$ は定積分で求めることができます。

$S = \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$

$x = 2\sin\theta$ と置換すると、$dx = 2\cos\theta d\theta$ となります。

$x = -1$ のとき $\sin\theta = -\frac{1}{2}$ より $\theta = -\frac{\pi}{6}$

$x = 1$ のとき $\sin\theta = \frac{1}{2}$ より $\theta = \frac{\pi}{6}$

したがって、

$S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\sqrt{4-4\sin^2\theta}} 2\cos\theta d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{2\sqrt{1-\sin^2\theta}} 2\cos\theta d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{2\cos\theta} 2\cos\theta d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} 1 d\theta$

$= [\theta]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}$

$= \frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3}$

## 問題2

1. 問題の内容

曲線 (等角螺旋) $\begin{cases} x = e^{a\theta} \cos \theta \\ y = e^{a\theta} \sin \theta \end{cases}$ ($0 \le \theta \le 2\pi$, $a \ne 0$) の長さを求めます。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は以下の式で与えられます。

$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2} d\theta$

まず、$\frac{dx}{d\theta}$ と $\frac{dy}{d\theta}$ を計算します。

$\frac{dx}{d\theta} = ae^{a\theta} \cos\theta - e^{a\theta} \sin\theta$

$\frac{dy}{d\theta} = ae^{a\theta} \sin\theta + e^{a\theta} \cos\theta$

$(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2 = (ae^{a\theta} \cos\theta - e^{a\theta} \sin\theta)^2 + (ae^{a\theta} \sin\theta + e^{a\theta} \cos\theta)^2$

$= a^2e^{2a\theta}\cos^2\theta - 2ae^{2a\theta}\cos\theta\sin\theta + e^{2a\theta}\sin^2\theta + a^2e^{2a\theta}\sin^2\theta + 2ae^{2a\theta}\sin\theta\cos\theta + e^{2a\theta}\cos^2\theta$

$= a^2e^{2a\theta}(\cos^2\theta + \sin^2\theta) + e^{2a\theta}(\sin^2\theta + \cos^2\theta)$

$= a^2e^{2a\theta} + e^{2a\theta}$

$= (a^2 + 1)e^{2a\theta}$

よって、

$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(a^2 + 1)e^{2a\theta}} d\theta = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2 + 1} e^{a\theta} d\theta$

$= \sqrt{a^2 + 1} \int_{0}^{2\pi} e^{a\theta} d\theta = \sqrt{a^2 + 1} [\frac{1}{a} e^{a\theta}]_{0}^{2\pi}$

$= \frac{\sqrt{a^2 + 1}}{a} (e^{2a\pi} - e^{0}) = \frac{\sqrt{a^2 + 1}}{a} (e^{2a\pi} - 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{a^2 + 1}}{a} (e^{2a\pi} - 1)$