関数 $y = \log_2 \sqrt{x}$ の、$\frac{1}{4} \le x \le 4$ における値域を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_2 \sqrt{x}$ の、$\frac{1}{4} \le x \le 4$ における値域を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x}$ の範囲を求めます。

$\frac{1}{4} \le x \le 4$ の各辺の正の平方根を取ると、

$$\sqrt{\frac{1}{4}} \le \sqrt{x} \le \sqrt{4}$$

$$\frac{1}{2} \le \sqrt{x} \le 2$$

次に、$y = \log_2 \sqrt{x}$ の $\sqrt{x}$ に $\frac{1}{2}$ と $2$ を代入して、$y$ の範囲を求めます。

$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$ のとき、

$$y = \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 2^{-1} = -1$$

$\sqrt{x} = 2$ のとき、

$$y = \log_2 2 = 1$$

$\log_2 x$ は単調増加関数なので、$\frac{1}{2} \le \sqrt{x} \le 2$ において、$-1 \le y \le 1$ となります。

3. 最終的な答え

$-1 \le y \le 1$