与えられた広義積分の値を求める問題です。具体的には、以下の6つの積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx$ (2) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx$ (3) $\int_{-\infty}^{0} e^{2x+1} dx$ (4) $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx$ (5) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+1)(x+2)} dx$ (6) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} dx$

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた広義積分の値を求める問題です。具体的には、以下の6つの積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx$

(2) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx$

(3) $\int_{-\infty}^{0} e^{2x+1} dx$

(4) $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx$

(5) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+1)(x+2)} dx$

(6) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx$

部分積分を用いて計算します。$u = x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

$\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx = [-xe^{-x}]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} -e^{-x} dx = [-xe^{-x}]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$

$\lim_{x \to \infty} -xe^{-x} = \lim_{x \to \infty} -\frac{x}{e^x} = 0$ （ロピタルの定理より）

よって、

$[-xe^{-x}]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = 0 - 0 + [-e^{-x}]_{0}^{\infty} = 0 - (-1) = 1$

(2) $\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx$

置換積分を用いて計算します。$u = x^2$ とすると、$du = 2x dx$ となります。

$\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} du = \frac{1}{2} [-e^{-u}]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2} (0 - (-1)) = \frac{1}{2}$

(3) $\int_{-\infty}^{0} e^{2x+1} dx$

置換積分を用いて計算します。$u = 2x + 1$ とすると、$du = 2 dx$ となります。

$\int_{-\infty}^{0} e^{2x+1} dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{1} e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_{-\infty}^{1} = \frac{1}{2} (e - 0) = \frac{e}{2}$

(4) $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx$

部分分数分解を行います。$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

$1 = A(x+1) + B(x-1)$

$x = 1$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$x = -1$ のとき、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

$\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 1} dx = \frac{1}{2} \int_{2}^{\infty} (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) dx = \frac{1}{2} [\ln|x-1| - \ln|x+1|]_{2}^{\infty} = \frac{1}{2} [\ln|\frac{x-1}{x+1}|]_{2}^{\infty}$

$\lim_{x \to \infty} \ln|\frac{x-1}{x+1}| = \ln(1) = 0$

$\frac{1}{2} [\ln|\frac{x-1}{x+1}|]_{2}^{\infty} = \frac{1}{2} (0 - \ln(\frac{1}{3})) = -\frac{1}{2} \ln(\frac{1}{3}) = \frac{1}{2} \ln(3)$

(5) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+1)(x+2)} dx$

部分分数分解を行います。$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$

$1 = A(x+2) + B(x+1)$

$x = -1$ のとき、$1 = A$

$x = -2$ のとき、$1 = -B$ より $B = -1$

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+1)(x+2)} dx = \int_{0}^{\infty} (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}) dx = [\ln|x+1| - \ln|x+2|]_{0}^{\infty} = [\ln|\frac{x+1}{x+2}|]_{0}^{\infty}$

$\lim_{x \to \infty} \ln|\frac{x+1}{x+2}| = \ln(1) = 0$

$[\ln|\frac{x+1}{x+2}|]_{0}^{\infty} = 0 - \ln(\frac{1}{2}) = -\ln(\frac{1}{2}) = \ln(2)$

(6) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} dx$

被積分関数は奇関数なので、積分範囲が対称であれば積分値は0になります。

$\frac{x}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}$ は奇関数であるため、$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} dx = 0$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1/2

(3) e/2

(4) (1/2)ln(3)

(5) ln(2)

(6) 0