(1) 任意角 $\theta$ に対して $-2 \le x\cos\theta + y\sin\theta \le y+1$ が成り立つような点 $(x, y)$ の全体からなる領域を $xy$ 平面上に図示し、その面積を求める。 (2) 任意角 $\alpha, \beta$ に対して $-1 \le x^2\cos\alpha + y\sin\beta \le 1$ が成り立つような点 $(x, y)$ の全体からなる領域を $xy$ 平面上に図示し、その面積を求める。

1. 問題の内容

(1) 任意角 $\theta$ に対して $-2 \le x\cos\theta + y\sin\theta \le y+1$ が成り立つような点 $(x, y)$ の全体からなる領域を $xy$ 平面上に図示し、その面積を求める。

(2) 任意角 $\alpha, \beta$ に対して $-1 \le x^2\cos\alpha + y\sin\beta \le 1$ が成り立つような点 $(x, y)$ の全体からなる領域を $xy$ 平面上に図示し、その面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、不等式 $-2 \le x\cos\theta + y\sin\theta \le y+1$ を変形する。

左側の不等式 $-2 \le x\cos\theta + y\sin\theta$ を変形すると、

$x\cos\theta + y\sin\theta \ge -2$ となる。

この不等式が任意の $\theta$ に対して成立するためには、$x = 0$ かつ $y \ge -2$ である必要がある。

右側の不等式 $x\cos\theta + y\sin\theta \le y+1$ を変形すると、

$x\cos\theta + y\sin\theta - y \le 1$ となる。

$x\cos\theta + y(\sin\theta - 1) \le 1$ となる。

$\theta$ が任意なので、$\theta = \pi/2$ のとき、$x\cos(\pi/2) + y(\sin(\pi/2) - 1) \le 1$ から、$x(0) + y(1-1) \le 1$ となり、$0 \le 1$ となり、これは常に成り立つ。

$\theta = 0$ のとき、$x\cos(0) + y(\sin(0) - 1) \le 1$ から、$x + y(0-1) \le 1$ となり、$x - y \le 1$ となる。

$\theta = \pi$ のとき、$x\cos(\pi) + y(\sin(\pi) - 1) \le 1$ から、$-x + y(0-1) \le 1$ となり、$-x - y \le 1$ となり、$x + y \ge -1$ となる。

$\theta = 3\pi/2$ のとき、$x\cos(3\pi/2) + y(\sin(3\pi/2) - 1) \le 1$ から、$x(0) + y(-1-1) \le 1$ となり、$-2y \le 1$ となり、$y \ge -1/2$ となる。

したがって、$x-y \le 1$ かつ $x+y \ge -1$ かつ $y \ge -1/2$ であり、$x = 0$ だったので、$-y \le 1$ かつ $y \ge -1$ となり、$y \ge -1/2$ が得られているので、$y \ge -1/2$ となる。

$x=0$のとき、$-2 \le y \sin\theta \le y+1$ が任意の $\theta$ について成り立つ必要がある。

$\theta=\pi/2$とすると $-2 \le y \le y+1$ となり、$y \ge -2$。

$\theta=3\pi/2$とすると $-2 \le -y \le y+1$ となり、$y \le 2$ かつ $-y \le y+1$ から $y \ge -1/2$。

したがって、$-1/2 \le y \le 2$。

領域は線分であり、面積は0。

しかし、$x$ が０でなくてもよい。 $x\cos\theta + y\sin\theta \ge -2$ は任意の $\theta$ について成り立つから、$x=0$ である必要はない。$y \sin\theta$ は $y$ の符号で最大値と最小値が変わるので考慮が必要。

$x\cos\theta + y\sin\theta$ は $x, y$ が定数であれば、$\theta$ の関数と見て、$f(\theta) = x\cos\theta + y\sin\theta = \sqrt{x^2+y^2}\sin(\theta + \alpha)$ とかける。ただし $\alpha$ は $\cos\alpha = y/\sqrt{x^2+y^2}, \sin\alpha = x/\sqrt{x^2+y^2}$ を満たす。

よって、$-\sqrt{x^2+y^2} \ge -2$ より、 $x^2 + y^2 \le 4$。

同様に $x\cos\theta + y\sin\theta \le y+1$ より、$x\cos\theta + y\sin\theta - y \le 1$ より、

$x\cos\theta + y(\sin\theta - 1) \le 1$ が任意の $\theta$ で成立する。

$\sqrt{x^2 + y^2} \le y+1$ ではなく、$\cos\theta = -x / \sqrt{x^2+y^2}$ と $\sin\theta = -y / \sqrt{x^2+y^2}$ に最大値をとるので、 $-x^2-y^2 \le y+1$ になる。

(2) $-1 \le x^2\cos\alpha + y\sin\beta \le 1$ が任意の $\alpha, \beta$ について成り立つ。

$\alpha = 0$ とすると $\cos\alpha = 1$ であり、$\alpha = \pi$ とすると $\cos\alpha = -1$ である。

同様に、$\beta = \pi/2$ とすると $\sin\beta = 1$ であり、$\beta = 3\pi/2$ とすると $\sin\beta = -1$ である。

$-1 \le x^2\cos\alpha + y\sin\beta \le 1$ より、

$\cos\alpha = 1$ と $\sin\beta = 1$ を代入すると $-1 \le x^2 + y \le 1$。

$\cos\alpha = 1$ と $\sin\beta = -1$ を代入すると $-1 \le x^2 - y \le 1$。

$\cos\alpha = -1$ と $\sin\beta = 1$ を代入すると $-1 \le -x^2 + y \le 1$。

$\cos\alpha = -1$ と $\sin\beta = -1$ を代入すると $-1 \le -x^2 - y \le 1$。

上記4つの不等式を整理すると、

(1) $x^2 + y \ge -1$ かつ $x^2 + y \le 1$

(2) $x^2 - y \ge -1$ かつ $x^2 - y \le 1$

(3) $-x^2 + y \ge -1$ かつ $-x^2 + y \le 1$

(4) $-x^2 - y \ge -1$ かつ $-x^2 - y \le 1$

となる。

(1) $y \ge -x^2 - 1$ かつ $y \le -x^2 + 1$

(2) $y \le x^2 + 1$ かつ $y \ge x^2 - 1$

(3) $y \ge x^2 - 1$ かつ $y \le x^2 + 1$

(4) $y \le -x^2 + 1$ かつ $y \ge -x^2 - 1$

結局、(1)(4)が同じで(2)(3)が同じなので、

$x^2 - 1 \le y \le -x^2 + 1$ が求める領域。

面積は$\int_{-1}^{1}(-x^2 + 1 - (x^2 - 1))dx = \int_{-1}^{1}(-2x^2 + 2)dx = [-2x^3/3 + 2x]_{-1}^{1} = (-2/3 + 2) - (2/3 - 2) = 8/3$.

3. 最終的な答え

(1) 領域： $x^2 + y^2 \le 4$, $x\cos\theta + y\sin\theta \le y+1$.

(2) 領域： $x^2 - 1 \le y \le -x^2 + 1$, 面積： $\frac{8}{3}$