不定積分 $\int \frac{2x+3}{(2x-1)^2} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{2x+3}{(2x-1)^2} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$$\frac{2x+3}{(2x-1)^2} = \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{(2x-1)^2}$$

とおきます。両辺に $(2x-1)^2$ を掛けると

$$2x+3 = A(2x-1) + B$$

$$2x+3 = 2Ax - A + B$$

係数を比較して

$$2A = 2$$

$$-A+B = 3$$

したがって、

$$A = 1$$

$$B = 3+A = 3+1 = 4$$

よって、

$$\frac{2x+3}{(2x-1)^2} = \frac{1}{2x-1} + \frac{4}{(2x-1)^2}$$

積分は

$$\int \frac{2x+3}{(2x-1)^2} dx = \int \left( \frac{1}{2x-1} + \frac{4}{(2x-1)^2} \right) dx = \int \frac{1}{2x-1} dx + \int \frac{4}{(2x-1)^2} dx$$

$\int \frac{1}{2x-1} dx$ において、$u = 2x-1$ とすると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$ なので、

$$\int \frac{1}{2x-1} dx = \int \frac{1}{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C_1 = \frac{1}{2} \ln |2x-1| + C_1$$

$\int \frac{4}{(2x-1)^2} dx$ において、$u = 2x-1$ とすると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$ なので、

$$\int \frac{4}{(2x-1)^2} dx = \int \frac{4}{u^2} \frac{1}{2} du = 2 \int u^{-2} du = 2 \frac{u^{-1}}{-1} + C_2 = -\frac{2}{u} + C_2 = -\frac{2}{2x-1} + C_2$$

したがって、

$$\int \frac{2x+3}{(2x-1)^2} dx = \frac{1}{2} \ln |2x-1| - \frac{2}{2x-1} + C$$

ここで、$C = C_1 + C_2$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln |2x-1| - \frac{2}{2x-1} + C$