$\sum_{k=1}^{n} (3k-1)^2$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (3k-1)^2$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(3k-1)^2$を展開します。

$(3k-1)^2 = 9k^2 - 6k + 1$

次に、シグマの性質を利用して、それぞれの項に分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (9k^2 - 6k + 1) = 9\sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2$, $\sum_{k=1}^{n} k$, $\sum_{k=1}^{n} 1$ の公式を使います。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入します。

$9\sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 9\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6\frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{3n(n+1)(2n+1)}{2} - 3n(n+1) + n$

$= \frac{3n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 2n}{2}$

$= \frac{n[3(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 2]}{2}$

$= \frac{n[3(2n^2+3n+1) - 6n - 6 + 2]}{2}$

$= \frac{n[6n^2 + 9n + 3 - 6n - 4]}{2}$

$= \frac{n[6n^2 + 3n - 1]}{2}$

$= \frac{6n^3 + 3n^2 - n}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{6n^3 + 3n^2 - n}{2}$