円 $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 5$ と直線 $y = 2x + 3$ の共有点の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 5$ と直線 $y = 2x + 3$ の共有点の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線の共有点の個数を求めるには、まず直線の方程式を円の方程式に代入して、$x$ に関する2次方程式を作ります。次に、その2次方程式の判別式 $D$ を計算し、$D$ の符号によって共有点の個数を判断します。

- $D > 0$ のとき、共有点は2個

- $D = 0$ のとき、共有点は1個

- $D < 0$ のとき、共有点は0個

ステップ1: 直線の方程式 $y = 2x + 3$ を円の方程式 $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 5$ に代入します。

$(x-2)^2 + (2x + 3 - 1)^2 = 5$

$(x-2)^2 + (2x + 2)^2 = 5$

ステップ2: 式を展開して整理します。

$x^2 - 4x + 4 + 4x^2 + 8x + 4 = 5$

$5x^2 + 4x + 8 = 5$

$5x^2 + 4x + 3 = 0$

ステップ3: 判別式 $D$ を計算します。$ax^2 + bx + c = 0$ の判別式は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。今回の場合は、$a = 5$, $b = 4$, $c = 3$ です。

$D = 4^2 - 4(5)(3)$

$D = 16 - 60$

$D = -44$

ステップ4: 判別式 $D$ の符号を調べます。

$D = -44 < 0$ なので、共有点は0個です。

3. 最終的な答え

共有点の個数は0個です。