円 $x^2 + y^2 = 9$ と直線 $y = x - k$ が共有点を持つときの、定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 9$ と直線 $y = x - k$ が共有点を持つときの、定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を持つ条件は、円の中心と直線との距離が円の半径以下であることです。

円 $x^2 + y^2 = 9$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $r = \sqrt{9} = 3$ です。

直線 $y = x - k$ を変形すると、$x - y - k = 0$ となります。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ との距離 $d$ は、次の式で表されます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この問題では、円の中心 $(0, 0)$ と直線 $x - y - k = 0$ との距離を計算します。

$d = \frac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 - k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-k|}{\sqrt{2}} = \frac{|k|}{\sqrt{2}}$

円と直線が共有点を持つためには、$d \le r$ である必要があります。

したがって、

$\frac{|k|}{\sqrt{2}} \le 3$

$|k| \le 3\sqrt{2}$

$-3\sqrt{2} \le k \le 3\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$-3\sqrt{2} \le k \le 3\sqrt{2}$