半径4cmの円の$\frac{1}{4}$の図形を、直線lを軸として回転させてできる立体の表面積と体積を求める問題です。

1. 問題の内容

半径4cmの円の$\frac{1}{4}$の図形を、直線lを軸として回転させてできる立体の表面積と体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 表面積

回転させると、半径4cmの半球ができます。

半球の表面積は、球の表面積の半分と、底面の円の面積の和です。

球の表面積は $4 \pi r^2$ で、半径が4cmなので、$4 \pi (4^2) = 64\pi$ cm$^2$

半球の表面積の曲面部分は、球の表面積の半分なので $\frac{1}{2} \times 64 \pi = 32 \pi$ cm$^2$

半球の底面は半径4cmの円なので、その面積は $\pi r^2 = \pi (4^2) = 16 \pi$ cm$^2$

したがって、半球の表面積は $32\pi + 16\pi = 48\pi$ cm$^2$

(2) 体積

回転させると、半径4cmの半球ができます。

球の体積は $\frac{4}{3} \pi r^3$ で、半径が4cmなので、$\frac{4}{3} \pi (4^3) = \frac{256}{3} \pi$ cm$^3$

半球の体積は、球の体積の半分なので $\frac{1}{2} \times \frac{256}{3} \pi = \frac{128}{3} \pi$ cm$^3$

3. 最終的な答え

(1) 表面積: $48 \pi$ cm$^2$

(2) 体積: $\frac{128}{3} \pi$ cm$^3$