三角形ABCにおいて、与えられた条件から指定された値を求める問題です。 (1) $b = \sqrt{2}, c = 4, A = 45^\circ$のとき、$a$を求めます。 (2) $a = 4, b = 7, C = 60^\circ$のとき、$c$を求めます。 (3) $a = 13, b = 7, c = 15$のとき、$A$を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、与えられた条件から指定された値を求める問題です。

(1) $b = \sqrt{2}, c = 4, A = 45^\circ$のとき、$a$を求めます。

(2) $a = 4, b = 7, C = 60^\circ$のとき、$c$を求めます。

(3) $a = 13, b = 7, c = 15$のとき、$A$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を利用して$a$を求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$

$a^2 = (\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2\cdot\sqrt{2}\cdot 4\cdot\cos{45^\circ}$

$\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ より、

$a^2 = 2 + 16 - 8\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 18 - 8$

$a^2 = 10$

$a > 0$より、

$a = \sqrt{10}$

(2) 余弦定理を利用して$c$を求めます。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$

$c^2 = 4^2 + 7^2 - 2\cdot 4\cdot 7\cdot\cos{60^\circ}$

$\cos{60^\circ} = \frac{1}{2}$ より、

$c^2 = 16 + 49 - 56\cdot\frac{1}{2}$

$c^2 = 65 - 28$

$c^2 = 37$

$c > 0$より、

$c = \sqrt{37}$

(3) 余弦定理を変形して$A$を求めます。

$\cos{A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos{A} = \frac{7^2 + 15^2 - 13^2}{2\cdot 7\cdot 15}$

$\cos{A} = \frac{49 + 225 - 169}{210}$

$\cos{A} = \frac{105}{210}$

$\cos{A} = \frac{1}{2}$

$0^\circ < A < 180^\circ$より、

$A = 60^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $a = \sqrt{10}$

(2) $c = \sqrt{37}$

(3) $A = 60^\circ$