放物線 $y = 2x^2 - 4x + 3$ を指定された方向に平行移動した後の放物線の方程式を求めます。 (1) $x$ 軸方向に 1, $y$ 軸方向に -3 だけ平行移動する。 (2) $x$ 軸方向に -5, $y$ 軸方向に 2 だけ平行移動する。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 4x + 3$ を指定された方向に平行移動した後の放物線の方程式を求めます。

(1) $x$ 軸方向に 1, $y$ 軸方向に -3 だけ平行移動する。

(2) $x$ 軸方向に -5, $y$ 軸方向に 2 だけ平行移動する。

2. 解き方の手順

放物線 $y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、移動後の放物線の方程式は $y - q = f(x - p)$ となります。つまり $y = f(x-p) + q$ となります。

(1) $x$ 軸方向に 1, $y$ 軸方向に -3 だけ平行移動する場合、$p = 1$, $q = -3$ なので、移動後の放物線の方程式は

$y - (-3) = 2(x - 1)^2 - 4(x - 1) + 3$

$y + 3 = 2(x^2 - 2x + 1) - 4x + 4 + 3$

$y + 3 = 2x^2 - 4x + 2 - 4x + 7$

$y = 2x^2 - 8x + 6$

(2) $x$ 軸方向に -5, $y$ 軸方向に 2 だけ平行移動する場合、$p = -5$, $q = 2$ なので、移動後の放物線の方程式は

$y - 2 = 2(x - (-5))^2 - 4(x - (-5)) + 3$

$y - 2 = 2(x + 5)^2 - 4(x + 5) + 3$

$y - 2 = 2(x^2 + 10x + 25) - 4x - 20 + 3$

$y - 2 = 2x^2 + 20x + 50 - 4x - 17$

$y = 2x^2 + 16x + 35$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 8x + 6$

(2) $y = 2x^2 + 16x + 35$