問題1では、点P(-2, 1), Q(1, 4), O(0, 0)が与えられたとき、以下の条件を満たす点Rの座標を求める問題です。 (1) 線分PQを2:1に内分する点R (2) 線分PQを3:2に外分する点R (3) 三角形OPQの重心 (4) 四角形OPQRが平行四辺形になる点R 問題2では、以下の条件を満たす直線の方程式を求める問題です。 (5) 点(-2, 5)を通り、傾きが4である直線 (6) 2点(-2, 2), (3, 1)を通る直線 (7) 直線 $2x + 3y = 0$ に平行で、点(2, 3)を通る直線 (8) 直線 $3x - 5y + 2 = 0$ に垂直で、点(-1, -1)を通る直線

はい、承知しました。問題文を読み解き、順番に問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題1では、点P(-2, 1), Q(1, 4), O(0, 0)が与えられたとき、以下の条件を満たす点Rの座標を求める問題です。

(1) 線分PQを2:1に内分する点R

(2) 線分PQを3:2に外分する点R

(3) 三角形OPQの重心

(4) 四角形OPQRが平行四辺形になる点R

問題2では、以下の条件を満たす直線の方程式を求める問題です。

(5) 点(-2, 5)を通り、傾きが4である直線

(6) 2点(-2, 2), (3, 1)を通る直線

(7) 直線 $2x + 3y = 0$ に平行で、点(2, 3)を通る直線

(8) 直線 $3x - 5y + 2 = 0$ に垂直で、点(-1, -1)を通る直線

2. 解き方の手順

問題1

(1) 線分PQを2:1に内分する点R

内分点の公式より、点Rの座標は

$R = (\frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2)}{2 + 1}, \frac{2 \cdot 4 + 1 \cdot 1}{2 + 1}) = (\frac{0}{3}, \frac{9}{3}) = (0, 3)$

(2) 線分PQを3:2に外分する点R

外分点の公式より、点Rの座標は

$R = (\frac{3 \cdot 1 - 2 \cdot (-2)}{3 - 2}, \frac{3 \cdot 4 - 2 \cdot 1}{3 - 2}) = (\frac{7}{1}, \frac{10}{1}) = (7, 10)$

(3) 三角形OPQの重心

重心の公式より、点Rの座標は

$R = (\frac{0 + (-2) + 1}{3}, \frac{0 + 1 + 4}{3}) = (\frac{-1}{3}, \frac{5}{3})$

(4) 四角形OPQRが平行四辺形になる点R

四角形OPQRが平行四辺形になるためには、線分ORの中点と線分PQの中点が一致する必要があります。

PQの中点は $(\frac{-2+1}{2},\frac{1+4}{2}) = (-\frac{1}{2}, \frac{5}{2})$

点Rを(x, y)とすると、ORの中点は$(\frac{x}{2}, \frac{y}{2})$

したがって、

$\frac{x}{2} = -\frac{1}{2}$

$\frac{y}{2} = \frac{5}{2}$

これより、$x = -1, y = 5$

点Rは(-1, 5)となります。

問題2

(5) 点(-2, 5)を通り、傾きが4である直線

点傾きの公式より、直線の方程式は

$y - 5 = 4(x - (-2))$

$y - 5 = 4(x + 2)$

$y - 5 = 4x + 8$

$y = 4x + 13$

(6) 2点(-2, 2), (3, 1)を通る直線

傾きは $\frac{1-2}{3-(-2)} = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5}$

点(-2, 2)を通るので、

$y - 2 = -\frac{1}{5}(x - (-2))$

$y - 2 = -\frac{1}{5}(x + 2)$

$5(y - 2) = -(x + 2)$

$5y - 10 = -x - 2$

$x + 5y - 8 = 0$

(7) 直線 $2x + 3y = 0$ に平行で、点(2, 3)を通る直線

平行な直線の傾きは同じなので、与えられた直線の傾きを求める。

$3y = -2x$

$y = -\frac{2}{3}x$

したがって、求める直線の傾きは $-\frac{2}{3}$

点(2, 3)を通るので、

$y - 3 = -\frac{2}{3}(x - 2)$

$3(y - 3) = -2(x - 2)$

$3y - 9 = -2x + 4$

$2x + 3y - 13 = 0$

(8) 直線 $3x - 5y + 2 = 0$ に垂直で、点(-1, -1)を通る直線

垂直な直線の傾きの積は-1になる。与えられた直線の傾きを求める。

$-5y = -3x - 2$

$y = \frac{3}{5}x + \frac{2}{5}$

したがって、与えられた直線の傾きは $\frac{3}{5}$

求める直線の傾きは $-\frac{5}{3}$

点(-1, -1)を通るので、

$y - (-1) = -\frac{5}{3}(x - (-1))$

$y + 1 = -\frac{5}{3}(x + 1)$

$3(y + 1) = -5(x + 1)$

$3y + 3 = -5x - 5$

$5x + 3y + 8 = 0$

3. 最終的な答え

問題1

(1) R(0, 3)

(2) R(7, 10)

(3) R(-1/3, 5/3)

(4) R(-1, 5)

問題2

(5) $y = 4x + 13$

(6) $x + 5y - 8 = 0$

(7) $2x + 3y - 13 = 0$

(8) $5x + 3y + 8 = 0$