台形ABCDにおいて、$AD // BC$ であり、$AD:BC = 2:3$、$BE:ED = 3:1$ である。三角形DECの面積が$9 cm^2$のとき、台形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、$AD // BC$ であり、$AD:BC = 2:3$、$BE:ED = 3:1$ である。三角形DECの面積が$9 cm^2$のとき、台形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle EBC$ と $\triangle EDC$ の面積比を考える。

$\triangle EBC$ と $\triangle EDC$ は、底辺をそれぞれ$BE$、$ED$ と見ると、高さが共通である。したがって、面積比は底辺の比に等しい。

$\frac{\triangle EBC}{\triangle EDC} = \frac{BE}{ED} = \frac{3}{1}$

$\triangle EDC = 9$ より、$\triangle EBC = 3 \times 9 = 27$

次に、$\triangle ABD$ と $\triangle BCD$ の面積比を考える。

$\triangle ABD$ と $\triangle BCD$ は、底辺をそれぞれ$AD$、$BC$ と見ると、高さが共通である。したがって、面積比は底辺の比に等しい。

$\frac{\triangle ABD}{\triangle BCD} = \frac{AD}{BC} = \frac{2}{3}$

$\triangle BCD = \triangle EBC + \triangle EDC = 27 + 9 = 36$

$\triangle ABD = \frac{2}{3} \times 36 = 24$

したがって、台形ABCDの面積は、$\triangle ABD + \triangle BCD = 24 + 36 = 60$ である。

3. 最終的な答え

台形ABCDの面積は $60 cm^2$ である。