三角形ABCにおいて、AB=6, BC=5, CA=7とする。三角形ABCの内接円の中心をI、内接円と辺BCとの接点をD、AIの延長と辺BCとの交点をPとするとき、ベクトルAD, AP, AIをそれぞれベクトルAB, AC, APを用いて表す問題。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=6, BC=5, CA=7とする。三角形ABCの内接円の中心をI、内接円と辺BCとの接点をD、AIの延長と辺BCとの交点をPとするとき、ベクトルAD, AP, AIをそれぞれベクトルAB, AC, APを用いて表す問題。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルADをベクトルAB, ACを用いて表す。

Dは内接円と辺BCの接点であるから、BD = (AB + BC - CA)/2 = (6 + 5 - 7)/2 = 2。

したがって、ベクトルAD = ベクトルAB + ベクトルBDとなる。

ここで、ベクトルBD = (BD/BC) * ベクトルBC = (2/5) * ベクトルBC。

また、ベクトルBC = ベクトルAC - ベクトルABであるから、

ベクトルAD = ベクトルAB + (2/5) * (ベクトルAC - ベクトルAB)

= (3/5) * ベクトルAB + (2/5) * ベクトルAC。

(2) ベクトルAPをベクトルAB, ACを用いて表す。

PはAIの延長と辺BCの交点であるから、角BACの二等分線と辺BCの交点である。

したがって、BP : PC = AB : AC = 6 : 7となる。

よって、ベクトルAP = (7 * ベクトルAB + 6 * ベクトルAC) / (6 + 7)

= (7/13) * ベクトルAB + (6/13) * ベクトルAC。

(3) ベクトルAIをベクトルAPを用いて表す。

Iは三角形ABCの内接円の中心であるから、AIは角BACの二等分線である。

したがって、APとAIは同一直線上にある。

また、AIは三角形ABCの内接円の中心であるから、面積を利用して考える。

三角形ABCの面積をSとすると、S = (1/2) * (AB + BC + CA) * r = 9r/2 (rは内接円の半径)。

ヘロンの公式より、s = (6 + 5 + 7)/2 = 9として、S = √(9 * (9-6) * (9-5) * (9-7)) = √(9 * 3 * 4 * 2) = 6√6。

よって、9r/2 = 6√6より、r = (4/3)√6。

ここで、AP = |AP|。

ベクトルAI = k * ベクトルAPとすると、AI = kAP。

APはBCを6:7に内分する点だから、AP = (AB*7 + AC*6)/13

三角形ABIの面積は (1/2) * AB * r = (1/2) * 6 * (4/3)√6 = 4√6

三角形ACIの面積は (1/2) * AC * r = (1/2) * 7 * (4/3)√6 = (14/3)√6

三角形BCIの面積は (1/2) * BC * r = (1/2) * 5 * (4/3)√6 = (10/3)√6

AI : IP = (ABI + ACI) : BCI = (4√6 + (14/3)√6) : (10/3)√6 = (12 + 14)/10 = 26/10 = 13/5

よって、AI = (13/18)AP

k = 13/18

3. 最終的な答え

AD = (3/5)AB + (2/5)AC

AP = (7/13)AB + (6/13)AC

AI = (13/18)AP