三角形OABにおいて、辺OAを2:1に内分する点をC、辺OBの中点をDとする。線分ADとBCの交点をPとする。 ベクトル$\vec{OP}$を、実数$m, n$を用いて$\vec{OP} = m\vec{OA} + n\vec{OB}$と表すとき、以下の問いに答える。 (1) $\vec{OP} = m\vec{OA} + \Box \vec{OD}$における$\Box$の値、および$m, n$の値を求める。 (2) $\vec{OP} = \Box \vec{OC} + n\vec{OB}$における$\Box$の値、および$m, n$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを2:1に内分する点をC、辺OBの中点をDとする。線分ADとBCの交点をPとする。

ベクトル$\vec{OP}$を、実数$m, n$を用いて$\vec{OP} = m\vec{OA} + n\vec{OB}$と表すとき、以下の問いに答える。

(1) $\vec{OP} = m\vec{OA} + \Box \vec{OD}$における$\Box$の値、および$m, n$の値を求める。

(2) $\vec{OP} = \Box \vec{OC} + n\vec{OB}$における$\Box$の値、および$m, n$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Pは線分AD上にあるので、実数$s$を用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD}$

と表せる。

また、DはOBの中点なので、

$\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{OB}$

したがって、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + \frac{s}{2}\vec{OB}$

次に、点Pは線分BC上にあるので、実数$t$を用いて

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC}$

と表せる。

また、CはOAを2:1に内分する点なので、

$\vec{OC} = \frac{2}{3}\vec{OA}$

したがって、

$\vec{OP} = \frac{2t}{3}\vec{OA} + (1-t)\vec{OB}$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は一次独立なので、

$1-s = \frac{2t}{3}$ かつ $\frac{s}{2} = 1-t$

これらの式を解くと、

$1 - s = \frac{2}{3}(1 - \frac{s}{2})$

$1 - s = \frac{2}{3} - \frac{s}{3}$

$\frac{2}{3}s = \frac{1}{3}$

$s = \frac{1}{2}$

よって、

$t = 1 - \frac{s}{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2} (2\vec{OD}) = \frac{1}{2}\vec{OA} + \vec{OD}$

したがって$\Box$には1が入る。

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + \frac{s}{2}\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{4}\vec{OB}$

よって$m = \frac{1}{2}$, $n = \frac{1}{4}$

(2)

$\vec{OP} = \frac{2t}{3}\vec{OA} + (1-t)\vec{OB} = t\vec{OC} + (1-t)\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{3}{4}\vec{OC} + (1-\frac{3}{4})\vec{OB} = \frac{3}{4}\vec{OC} + \frac{1}{4}\vec{OB}$

したがって$\Box$には$\frac{3}{4}$が入る。

$\vec{OP} = m\vec{OA} + n\vec{OB}$について、

$\vec{OP} = \frac{2t}{3}\vec{OA} + (1-t)\vec{OB} = \frac{2}{3} * \frac{3}{4} \vec{OA} + \frac{1}{4} \vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{1}{2} \vec{OA} + \frac{1}{4} \vec{OB}$

よって$m = \frac{1}{2}$, $n = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\Box$には1が入り、$m = \frac{1}{2}, n = \frac{1}{4}$

(2) $\Box$には$\frac{3}{4}$が入り、$m = \frac{1}{2}, n = \frac{1}{4}$