三角形ABCにおいて、$AB=12$, $BC=7$, $CA=9$である。辺BC上に点Dを$BD=4$を満たすように取る。点Aを通り線分ADに垂直な直線と辺BCの延長との交点をEとする。このとき、$BE$の長さと、三角形ACDの面積は三角形ACEの面積の何倍かを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=12$, $BC=7$, $CA=9$である。辺BC上に点Dを$BD=4$を満たすように取る。点Aを通り線分ADに垂直な直線と辺BCの延長との交点をEとする。このとき、$BE$の長さと、三角形ACDの面積は三角形ACEの面積の何倍かを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$CD = BC - BD = 7 - 4 = 3$である。

三角形ADEは直角三角形である。AEはADに垂直だから、$\angle EAD = 90^\circ$。

$\angle ADB = \angle EAD + \angle AED$

$\angle EAB = \angle EAD = 90^\circ$なので、$\angle BAD + \angle DAE = 90^\circ$となる。

三角形ABEと三角形CADにおいて、$\angle AEB = \angle CAD$が成り立つ。

よって、三角形ABEと三角形CADは相似である。

したがって、$AB:CD = BE:AD$ が成立する。

また、$AE:AC = BE:CD$, $AB:AC= AE:AD$となる。

すると、$AB:CD = BE:AD \rightarrow 12:3 = BE:AD \rightarrow 4 = \frac{BE}{AD} \rightarrow BE = 4AD$

$AC:AE = CD:BE \rightarrow 9:AE = 3:BE \rightarrow 3AE = 9BE \rightarrow AE = 3BE$

$AD:AB = CD:AE \rightarrow AD:12 = 3:AE \rightarrow ADEF = 36$

ここで、角の二等分線の定理を考える。

$AD \perp AE$であるので、角の二等分線定理より、$BD:CD=AB:AC$が成立するとき、$AD$が角の二等分線となる。

しかし、$BD:CD = 4:3$, $AB:AC = 12:9 = 4:3$であるから、$AD$は角の二等分線である。

よって、$BE:CE = AB:AC$なので、$BE:CE = 12:9 = 4:3$となる。

$CE = CB+BE = 7 + BE$であるから、$BE:(7+BE)=4:3$が成り立つ。

$3BE = 4(7+BE) = 28+4BE$

$BE = -28$ となるが、長さなのでありえない。

直線AEとADが直交することから、$\angle DAE = 90^{\circ}$である。

$\triangle ABE \sim \triangle CAD$より、$AB:CA=BE:CD$、すなわち $12:9 = BE:3$。

よって、$BE = \frac{12 \times 3}{9} = \frac{36}{9} = 4$

$\triangle ACD = \frac{CD}{CE}\triangle ACE = \frac{CD}{CB+BE}\triangle ACE = \frac{3}{7+4}\triangle ACE = \frac{3}{11}\triangle ACE$

3. 最終的な答え

$BE = 4$

$\triangle ACD = \frac{3}{11} \triangle ACE$