直角三角形ABCにおいて、AB=5, BC=12, CA=13とする。 (1) ∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分ADの長さを求めよ。 (2) ∠Aの二等分線と△ABCの外接円の交点のうち、点Aと異なる点をEとする。線分DEの長さを求めよ。 (3) △ABCの外接円の中心をOとし、線分BOと線分ADの交点をPとする。AP:PDを求めよ。 (4) △ABCの内接円の中心をIとする。AI:IDを求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、AB=5, BC=12, CA=13とする。

(1) ∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分ADの長さを求めよ。

(2) ∠Aの二等分線と△ABCの外接円の交点のうち、点Aと異なる点をEとする。線分DEの長さを求めよ。

(3) △ABCの外接円の中心をOとし、線分BOと線分ADの交点をPとする。AP:PDを求めよ。

(4) △ABCの内接円の中心をIとする。AI:IDを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の定理より、BD:DC = AB:AC = 5:13

よって、BD = $12 \times \frac{5}{5+13} = 12 \times \frac{5}{18} = \frac{10}{3}$

△ABDにおいて、余弦定理より

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \times AB \times BD \times \cos B$

$\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}$

$AD^2 = 5^2 + (\frac{10}{3})^2 - 2 \times 5 \times \frac{10}{3} \times \frac{5}{13} = 25 + \frac{100}{9} - \frac{500}{39} = 25 + \frac{100}{9} - \frac{500}{39} = \frac{25 \times 351 + 100 \times 39 - 500 \times 9}{351} = \frac{8775 + 3900 - 4500}{351} = \frac{8175}{351} = \frac{2725}{117}$

$AD = \sqrt{\frac{2725}{117}} = 5\sqrt{\frac{109}{117}} = \frac{5}{9}\sqrt{109} \times \sqrt{\frac{9}{13}} = \frac{5\sqrt{13 \cdot 109}}{39}$

$\frac{65}{13}$

角の二等分線の定理を正しく適用する必要がある。

BD:DC = AB:AC = 5:13

BD = $12\times\frac{5}{18} = \frac{10}{3}$

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2AB\cdot BD \cos B$

$\cos B = \frac{5}{13}$

$AD^2 = 25 + \frac{100}{9} - \frac{500}{39} = \frac{8775+3900-4500}{351}=\frac{8175}{351}=\frac{2725}{117}$

$AD = \frac{5\sqrt{109}}{\sqrt{117}} = \frac{5\sqrt{12663}}{117}$

(2) ∠BAD = ∠CADであり、円周角の定理より∠CBD = ∠CAD = ∠BADであるから、AB = AE = 5

DE = AD

(3)

(4) 内接円の半径をrとすると、面積S = $\frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$

$r = \frac{2S}{a+b+c} = \frac{60}{5+12+13} = \frac{60}{30} = 2$

AI:ID = AB+AC:BC = 5+13:12 = 18:12 = 3:2

3. 最終的な答え

(1) AD = $\frac{5\sqrt{12663}}{117}$

(2) DE = AD

(3)

(4) AI:ID = 3:2