円柱Pと円柱Qが相似で、相似比が2:3である。円柱Pの半径は5cm、高さは10cmである。以下の問いに答える。 (1) 円柱Pの表面積を求める。 (2) 円柱Pの体積を求める。 (3) 円柱Qの表面積を求める。 (4) 円柱Qの体積を求める。

1. 問題の内容

円柱Pと円柱Qが相似で、相似比が2:3である。円柱Pの半径は5cm、高さは10cmである。以下の問いに答える。

(1) 円柱Pの表面積を求める。

(2) 円柱Pの体積を求める。

(3) 円柱Qの表面積を求める。

(4) 円柱Qの体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円柱Pの表面積を求める。

円柱の表面積は、底面積$\times 2$ + 側面積で求められる。

底面積は、$\pi r^2$で求められる。円柱Pの半径は5cmなので、底面積は$\pi \times 5^2 = 25\pi$ ($cm^2$)である。

側面積は、$2\pi r h$で求められる。円柱Pの半径は5cm、高さは10cmなので、側面積は$2\pi \times 5 \times 10 = 100\pi$ ($cm^2$)である。

円柱Pの表面積は、$25\pi \times 2 + 100\pi = 50\pi + 100\pi = 150\pi$ ($cm^2$)となる。

(2) 円柱Pの体積を求める。

円柱の体積は、底面積$\times$高さで求められる。

円柱Pの底面積は$25\pi$ ($cm^2$)、高さは10cmなので、体積は$25\pi \times 10 = 250\pi$ ($cm^3$)となる。

(3) 円柱Qの表面積を求める。

相似比がm:nならば、表面積の比は$m^2:n^2$である。円柱Pと円柱Qの相似比は2:3なので、表面積の比は$2^2:3^2 = 4:9$となる。

円柱Pの表面積は$150\pi$ ($cm^2$)なので、円柱Qの表面積を$x$とすると、$4:9 = 150\pi:x$という比例式が成り立つ。

これを解くと、$4x = 9 \times 150\pi$、$x = \frac{9 \times 150\pi}{4} = \frac{1350\pi}{4} = \frac{675\pi}{2}$ ($cm^2$)となる。

(4) 円柱Qの体積を求める。

相似比がm:nならば、体積比は$m^3:n^3$である。円柱Pと円柱Qの相似比は2:3なので、体積比は$2^3:3^3 = 8:27$となる。

円柱Pの体積は$250\pi$ ($cm^3$)なので、円柱Qの体積を$y$とすると、$8:27 = 250\pi:y$という比例式が成り立つ。

これを解くと、$8y = 27 \times 250\pi$、$y = \frac{27 \times 250\pi}{8} = \frac{6750\pi}{8} = \frac{3375\pi}{4}$ ($cm^3$)となる。

3. 最終的な答え

(1) 円柱Pの表面積: $150\pi$ $cm^2$

(2) 円柱Pの体積: $250\pi$ $cm^3$

(3) 円柱Qの表面積: $\frac{675\pi}{2}$ $cm^2$

(4) 円柱Qの体積: $\frac{3375\pi}{4}$ $cm^3$