P君は午前8時に家を出発し、A町、B町へと歩いていった。グラフは、出発からの時間 $x$ 分と、家からの道のり $y$ km の関係を表している。 (1) 家からA町まで歩いたときと、A町からB町まで歩いたときの時速をそれぞれ求めなさい。 (2) $x$ の変域が $0 \leq x \leq 30$ および $40 \leq x \leq 60$ の場合の $x$ と $y$ の関係を式で表しなさい。 (3) 午前8時40分に、兄が時速16kmの自転車で家からB町に向かって出発した。兄がP君に追いつく時刻を求めなさい。

1. 問題の内容

P君は午前8時に家を出発し、A町、B町へと歩いていった。グラフは、出発からの時間 $x$ 分と、家からの道のり $y$ km の関係を表している。

(1) 家からA町まで歩いたときと、A町からB町まで歩いたときの時速をそれぞれ求めなさい。

(2) $x$ の変域が $0 \leq x \leq 30$ および $40 \leq x \leq 60$ の場合の $x$ と $y$ の関係を式で表しなさい。

(3) 午前8時40分に、兄が時速16kmの自転車で家からB町に向かって出発した。兄がP君に追いつく時刻を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 時速を求めるには、距離を時間で割る必要があります。

- 家からA町まで: 距離は2km、時間は30分です。時速を求めるために、時間を時間に変換します。$30 \text{分} = \frac{30}{60} \text{時間} = \frac{1}{2} \text{時間}$。したがって、時速は $2 \div \frac{1}{2} = 4$ km/時。

- A町からB町まで: 距離は $4-2=2$ km、時間は $60-40=20$ 分です。時間に変換すると、$20 \text{分} = \frac{20}{60} \text{時間} = \frac{1}{3} \text{時間}$。したがって、時速は $2 \div \frac{1}{3} = 6$ km/時。

(2)

- $0 \leq x \leq 30$: この区間は原点を通る直線なので、$y=ax$の形です。グラフより、$x=30$のとき$y=2$なので、$2 = 30a$となり、$a = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$。したがって、$y = \frac{1}{15}x$。

- $40 \leq x \leq 60$: この区間は、$x=40$のとき$y=2$、$x=60$のとき$y=4$を通る直線です。直線の式を$y = ax + b$とおくと、$2 = 40a + b$ と $4 = 60a + b$ が成り立ちます。この連立方程式を解くと、

$4 - 2 = (60a + b) - (40a + b)$

$2 = 20a$

$a = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

$2 = 40 \times \frac{1}{10} + b$

$2 = 4 + b$

$b = -2$

したがって、$y = \frac{1}{10}x - 2$。

(3) 兄が出発する時刻は午前8時40分です。P君の午前8時40分における位置は、(2)より$x=40$なので、$y = \frac{1}{10}(40) - 2 = 4 - 2 = 2$ km です。

兄の速さは時速16kmなので、P君との相対速度は、この時点からP君がB町まで歩く時の時速6kmを使って、$16-6=10$ km/時 となります。P君がB町まで $4-2=2$ km の距離を進むのに、兄との相対速度を使うと、追いつくのにかかる時間は $2 \div 10 = \frac{1}{5}$ 時間です。これを分に変換すると、$\frac{1}{5} \times 60 = 12$ 分。

したがって、追いつく時刻は午前8時40分 $+ 12$分 = 午前8時52分。

3. 最終的な答え

(1) 家からA町までの時速: 4 km/時、A町からB町までの時速: 6 km/時

(2) $0 \leq x \leq 30$ のとき: $y = \frac{1}{15}x$、 $40 \leq x \leq 60$ のとき: $y = \frac{1}{10}x - 2$

(3) 午前8時52分