与えられた図において、$\angle D$ の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた図において、$\angle D$ の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$について考えます。$\angle ABC = 120^\circ$、$\angle BAC = 30^\circ$なので、$\angle ACB$ は以下のように求められます。

$\angle ACB = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BAC) = 180^\circ - (120^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

したがって、$\angle ACB = 30^\circ$です。

次に、$\triangle ADC$について考えます。$AC = \sqrt{3}$、$DC = 3\sqrt{3}$ です。

$\triangle ADC$ において、$AC$ と $DC$ の比を計算すると、

$\frac{DC}{AC} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$

したがって、$DC = 3AC$。

ここで、$AD = 6$ で、$AC = \sqrt{3}$ なので、$AD:AC = 6:\sqrt{3} = 2\sqrt{3}:1$

$\tan{\angle DAC} = \frac{DC}{AC} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$より、$\tan{\angle DAC} =3$。

$\tan{71.6^\circ}$ がおおよそ 3 であることを考えると、$\angle DAC = 71.6^\circ$ と推定できます。

三角形の内角の和は 180° であるので $\angle ADC = 90^\circ$ になるとすると、

$AD^2 = AC^2 + DC^2$

$6^2 = (\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2$

$36 = 3 + 27 = 30$

となり、ピタゴラスの定理が成り立たないので $\angle ACD$ は直角ではありません。

$\triangle ACD$ に正弦定理を適用します。

$\frac{AD}{\sin{\angle ACD}} = \frac{DC}{\sin{\angle DAC}} = \frac{AC}{\sin{\angle ADC}}$

$\frac{6}{\sin{\angle ACD}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sin{\angle DAC}} = \frac{\sqrt{3}}{\sin{\angle ADC}}$

$\frac{DC}{AC} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$ なので、

$\sin{\angle DAC} = 3 \sin{\angle ADC}$

ここで$\angle ACD + \angle CAD + \angle ADC = 180^\circ$

$\triangle ADC$ が直角三角形と仮定すると、

$\angle ACD = 90^\circ$の場合、$AD^2 = AC^2 + CD^2 = (\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 = 30$。$AD = \sqrt{30} \neq 6$。

$\angle ADC = 90^\circ$の場合、$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 6^2 + (3\sqrt{3})^2 = 36+27 = 63$。$AC = \sqrt{63} \neq \sqrt{3}$。

$\angle DAC = 90^\circ$の場合、$CD^2 = AD^2 + AC^2 = 6^2 + (\sqrt{3})^2 = 36+3 = 39$。$CD = \sqrt{39} \neq 3\sqrt{3}$。

よって、直角三角形ではない。

余弦定理を適用する。

$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2AC \cdot CD \cdot \cos{\angle ACD}$

$36 = 3 + 27 - 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos{\angle ACD}$

$36 = 30 - 18\cos{\angle ACD}$

$6 = -18\cos{\angle ACD}$

$\cos{\angle ACD} = -\frac{1}{3}$

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cdot \cos{\angle ADC}$

$3 = 36 + 27 - 2 \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3} \cos{\angle ADC}$

$3 = 63 - 36\sqrt{3} \cos{\angle ADC}$

$-60 = -36\sqrt{3} \cos{\angle ADC}$

$\cos{\angle ADC} = \frac{60}{36\sqrt{3}} = \frac{5}{3\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{9} \approx 0.962$

$\angle ADC = \arccos{\frac{5\sqrt{3}}{9}} \approx 15.79^{\circ}$

3. 最終的な答え

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