関数 $f(x)$ が以下のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin 5x}{2x} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases}$ この関数が実数全体で連続となるように、$a$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が以下のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin 5x}{2x} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases}$

この関数が実数全体で連続となるように、$a$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立つ必要があります。

$f(0) = a$ であるため、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{2x} = a$ を満たす $a$ を求めることになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{2x}$ を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{5x}{2x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1$ であることを利用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{5}{2} = 1 \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$

したがって、$a = \frac{5}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$a = \frac{5}{2}$