関数 $f(x)$ は、 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1 + x^n}, (x > 0)$ で定義される。$f(x)$ が連続にならないような $x$ の値を全て求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ は、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1 + x^n}, (x > 0)$

で定義される。$f(x)$ が連続にならないような $x$ の値を全て求める。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ の極限を計算するため、$x$ の値の範囲によって場合分けを行う。

(i) $0 < x < 1$ のとき：

$n \to \infty$ で $x^n \to 0$ なので、

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f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1 + x^n} = \frac{0}{1 + 0} = 0

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(ii) $x = 1$ のとき：

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f(1) = \lim_{n \to \infty} \frac{1^{n+1}}{1 + 1^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}

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(iii) $x > 1$ のとき：

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f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1 + x^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}/x^n}{(1 + x^n)/x^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{1/x^n + 1} = \frac{x}{0 + 1} = x

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したがって、$f(x)$ は次のように表せる。

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f(x) = \begin{cases}

0 & (0 < x < 1) \\

1/2 & (x = 1) \\

x & (x > 1)

\end{cases}

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$f(x)$ が $x = 1$ で連続であるかどうかを調べる。

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} 0 = 0$

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x = 1$

$f(1) = 1/2$

$\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq f(1)$ かつ $\lim_{x \to 1^+} f(x) \neq f(1)$ なので、$f(x)$ は $x = 1$ で連続ではない。

3. 最終的な答え

$x = 1$