関数 $f(x)$ が与えられています。 $ f(x) = \begin{cases} \frac{\sin 5x}{2x} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases} $ この関数が実数全体で定義された連続関数となるように、$a$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$$

f(x) = \begin{cases}

\frac{\sin 5x}{2x} & (x \neq 0) \\

a & (x = 0)

\end{cases}

$$

この関数が実数全体で定義された連続関数となるように、$a$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、以下の条件が満たされる必要があります。

$$

\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)

$$

まず、$x \neq 0$ のときの $f(x)$ の極限値を求めます。

$$

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{2x}

$$

ここで、$\frac{\sin x}{x}$ の極限の公式 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\sin 5x$ の引数を $5x$ に合わせるために、分子と分母に $5/5$ を掛けます。

$$

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x}

$$

$t = 5x$ とおくと、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ となるので、

$$

\frac{5}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = \frac{5}{2} \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = \frac{5}{2} \cdot 1 = \frac{5}{2}

$$

したがって、$\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{5}{2}$ です。

関数が $x=0$ で連続であるためには、$f(0) = a$ が $\lim_{x \to 0} f(x)$ に等しくなければなりません。つまり、

$$

a = \frac{5}{2}

$$

3. 最終的な答え

$a = \frac{5}{2}$