関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1}x}{1 + \tan^n x}$ （$0 < x < \frac{\pi}{2}$）の連続性を調べる問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1}x}{1 + \tan^n x}$ （$0 < x < \frac{\pi}{2}$）の連続性を調べる問題です。

2. 解き方の手順

$\tan x$ の値によって場合分けします。

* $0 < x < \frac{\pi}{4}$ のとき、$0 < \tan x < 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} \tan^n x = 0$ です。

よって、$f(x) = \frac{0}{1+0} = 0$ となります。

* $x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\tan x = 1$ なので、$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1^{n+1}}{1+1^n} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$ となります。

* $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\tan x > 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} \tan^n x = \infty$ です。

したがって、$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1}x}{1 + \tan^n x} = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan x}{\frac{1}{\tan^n x} + 1} = \frac{\tan x}{0 + 1} = \tan x$ となります。

まとめると、

$f(x) = \begin{cases}

0 & (0 < x < \frac{\pi}{4}) \\

\frac{1}{2} & (x = \frac{\pi}{4}) \\

\tan x & (\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2})

\end{cases}$

となります。

次に連続性を調べます。

* $0 < x < \frac{\pi}{4}$ では、$f(x) = 0$ なので連続です。

* $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ では、$f(x) = \tan x$ なので連続です。

* $x = \frac{\pi}{4}$ での連続性を調べます。

* $\lim_{x \to \frac{\pi}{4} - 0} f(x) = 0$

* $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

* $\lim_{x \to \frac{\pi}{4} + 0} f(x) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$

よって、$x = \frac{\pi}{4}$ で不連続です。

したがって、$0 < x < \frac{\pi}{4}$ で連続、$\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ で連続、$x = \frac{\pi}{4}$ で不連続となります。

選択肢 5: $x = \frac{\pi}{4}$ で不連続, $0 < x < \frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ で連続。

3. 最終的な答え

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