関数 $f(x) = (2x-1)^3$ の $x=0$ における微分係数の値を、微分係数の定義に従って求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (2x-1)^3$ の $x=0$ における微分係数の値を、微分係数の定義に従って求めよ。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は以下の通りです。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

この問題では、$a=0$ なので、

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$

$f(x) = (2x-1)^3$ なので、

$f(h) = (2h-1)^3$

$f(0) = (2(0)-1)^3 = (-1)^3 = -1$

したがって、

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{(2h-1)^3 - (-1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(2h-1)^3 + 1}{h}$

$(2h-1)^3 = (2h)^3 - 3(2h)^2(1) + 3(2h)(1)^2 - 1^3 = 8h^3 - 12h^2 + 6h - 1$

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{8h^3 - 12h^2 + 6h - 1 + 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{8h^3 - 12h^2 + 6h}{h}$

$f'(0) = \lim_{h \to 0} (8h^2 - 12h + 6)$

$h \to 0$ のとき、$8h^2 - 12h + 6 \to 6$

$f'(0) = 6$

3. 最終的な答え

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