関数 $y = x \cos 2x$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x \cos 2x$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式を使います。積の微分公式は $(uv)' = u'v + uv'$ です。

この問題では、$u = x$、$v = \cos 2x$ とします。

まず、$u$ の微分を計算します。

$u' = (x)' = 1$

次に、$v$ の微分を計算します。

$v' = (\cos 2x)' = -2\sin 2x$

ここで合成関数の微分を使っています。

$(\cos f(x))' = -f'(x) \sin f(x)$

$f(x)=2x$ のとき、$f'(x) = 2$ なので、$v' = -2\sin 2x$となります。

積の微分公式に、$u, u', v, v'$ を代入します。

$y' = (x \cos 2x)' = (x)' \cos 2x + x (\cos 2x)' = 1 \cdot \cos 2x + x \cdot (-2\sin 2x)$

整理すると、$y' = \cos 2x - 2x\sin 2x$

3. 最終的な答え

$\cos 2x - 2x\sin 2x$