関数 $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$ の導関数 $f'(x)$ を、導関数の定義に従って計算し、$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$ を証明する問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$ の導関数 $f'(x)$ を、導関数の定義に従って計算し、$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$ を証明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、導関数の定義式から始めます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$ を代入します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\cos(x+h)}{\sin(x+h)} - \frac{\cos x}{\sin x}}{h}$

分子を通分します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h)\sin x - \cos x \sin(x+h)}{h \sin(x+h) \sin x}$

三角関数の加法定理 $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ を用いると、分子は $\sin(x - (x+h)) = \sin(-h) = -\sin h$ となります。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-\sin h}{h \sin(x+h) \sin x}$

$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ であることを利用します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{\sin(x+h) \sin x} \cdot \frac{\sin h}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{\sin(x+h) \sin x} \cdot \lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}$

$h \to 0$ のとき、$\sin(x+h) \to \sin x$ なので、

$\lim_{h \to 0} \sin(x+h) \sin x = \sin^2 x$

よって、

$f'(x) = \frac{-1}{\sin^2 x}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$

ア：$\frac{\cos(x+h)}{\sin(x+h)}$

イ：$\cos(x+h)\sin x - \cos x \sin(x+h)$

ウ：$-\sin h$

エ：$\frac{-1}{\sin^2 x}$