関数 $y = \frac{2x^2 - x}{x^3 + 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x^2 - x}{x^3 + 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用います。商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ の微分が

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

で与えられるというものです。

この問題では、$u(x) = 2x^2 - x$ かつ $v(x) = x^3 + 1$ です。

$u'(x) = 4x - 1$

$v'(x) = 3x^2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(4x-1)(x^3+1) - (2x^2-x)(3x^2)}{(x^3+1)^2}$

$= \frac{4x^4 + 4x - x^3 - 1 - (6x^4 - 3x^3)}{(x^3+1)^2}$

$= \frac{4x^4 + 4x - x^3 - 1 - 6x^4 + 3x^3}{(x^3+1)^2}$

$= \frac{-2x^4 + 2x^3 + 4x - 1}{(x^3+1)^2}$

$= - \frac{2x^4 - 2x^3 - 4x + 1}{(x^3+1)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{2x^4 - 2x^3 - 4x + 1}{(x^3+1)^2}$

選択肢1が該当します。